AB 必考 BC 也考
Unit 1 極限與連續
極限（limit）描述「當 \(x\) 越來越靠近某個值時，\(f(x)\) 會越來越靠近哪個值」，它是導數與積分的共同基礎。Unit 1 教你從圖形、表格與代數式求極限，判斷函數是否連續，並使用中間值定理（IVT）。本單元約佔 AB 考試 10–12%、BC 考試 4–7%。
極限是什麼？
\(\lim_{x\to c}f(x)=L\) 的意思是：\(x\) 從左右兩側逼近 \(c\)（但不等於 \(c\)）時，\(f(x)\) 逼近 \(L\)。極限只看 \(c\) 附近的行為，與 \(f(c)\) 本身的值無關，甚至 \(f(c)\) 沒有定義也可以有極限。
單側極限
- 左極限 \(\lim_{x\to c^-}f(x)\)：\(x\) 從比 \(c\) 小的一側逼近。
- 右極限 \(\lim_{x\to c^+}f(x)\)：\(x\) 從比 \(c\) 大的一側逼近。
- 雙側極限存在 \(\iff\) 左極限 \(=\) 右極限。
極限不存在的三種情況
- 跳躍：左右極限不相等，例如分段函數在接點跳開。
- 無界：函數值趨近 \(\pm\infty\)，例如 \(\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}\)（此時可寫 \(=\infty\)，但極限仍「不存在」為有限值）。
- 振盪：例如 \(\lim_{x\to 0}\sin\dfrac{1}{x}\)，函數在 \(-1\) 與 \(1\) 之間不停跳動。
如何用代數求極限？
先直接代入。若得到具體數字就是答案；若得到 \(\dfrac{0}{0}\)（不定型），代表要先化簡：
| 方法 | 適用情況 | 例子 |
|---|---|---|
| 因式分解約分 | 分子分母有共同因式 | \(\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6\) |
| 有理化 | 含根號 | \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac14\) |
| 特殊三角極限 | 含 \(\sin x\)、\(\cos x\) | \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}=5\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{5x}=5\) |
| 夾擠定理 | 有界函數乘以趨近 0 的函數 | \(\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\cos\frac1x=0\) |
夾擠定理（Squeeze Theorem）：若在 \(c\) 附近 \(g(x)\le f(x)\le h(x)\)，且 \(\lim g=\lim h=L\)，則 \(\lim f=L\)。
無窮極限與水平、垂直漸近線
- 垂直漸近線：若 \(\lim_{x\to c^\pm}f(x)=\pm\infty\)，則 \(x=c\) 是垂直漸近線。有理函數通常出現在分母為 0、分子不為 0 的位置。
- 水平漸近線：若 \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L\)，則 \(y=L\) 是水平漸近線。
有理函數 \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\) 在 \(x\to\infty\) 的極限，比較分子分母的最高次數：
| 次數比較 | 極限 |
|---|---|
| 分子次數 < 分母次數 | \(0\) |
| 分子次數 = 分母次數 | 最高次項係數比 |
| 分子次數 > 分母次數 | \(\pm\infty\)（無水平漸近線） |
連續的定義與不連續的種類
\(f\) 在 \(x=c\) 連續，必須同時滿足三個條件：
- \(f(c)\) 有定義；
- \(\lim_{x\to c}f(x)\) 存在；
- \(\lim_{x\to c}f(x)=f(c)\)。
不連續分成三類：
- 可移除不連續（removable）：極限存在但不等於 \(f(c)\)，或 \(f(c)\) 無定義，圖上是「洞」。
- 跳躍不連續（jump）：左右極限不相等。
- 無窮不連續（infinite）：有垂直漸近線。
例題：讓分段函數連續
設 \(f(x)=\begin{cases}kx+1, & x<2\\ x^2-k, & x\ge 2\end{cases}\)，求使 \(f\) 在 \(x=2\) 連續的 \(k\)。
左極限 \(2k+1\)，右極限與 \(f(2)\) 皆為 \(4-k\)。令 \(2k+1=4-k\)，得 \(k=1\)。
中間值定理（IVT）
若 \(f\) 在閉區間 \([a,b]\) 上連續，且 \(k\) 介於 \(f(a)\) 與 \(f(b)\) 之間，則至少存在一個 \(c\in[a,b]\)，使 \(f(c)=k\)。
FRQ 使用 IVT 時，必須先寫出「\(f\) 在 \([a,b]\) 上連續」，否則會失分。常見用法是證明方程式有根：若 \(f(a)<0<f(b)\)，則 \(f\) 在 \((a,b)\) 內有零點。
常見錯誤
- 看到 \(\dfrac{0}{0}\) 就說極限不存在：\(\dfrac{0}{0}\) 只表示要再化簡，不是答案。
- 把 \(f(c)\) 當成極限：圖形有「洞」時，極限是洞的高度，不是實心點的高度。
- 用 IVT 卻沒說明連續性。
推薦影音
Krista King：Unit 1 完整複習
簡述：約一小時，依官方 Unit 1 的小節順序講解圖形、表格、代數求極限、漸近線、連續與 IVT，附大量例題，適合第一次學習或考前完整複習。
Maximum Insight：Unit 1 重點快速複習
簡述：約 12 分鐘濃縮 Unit 1 必考題型，適合讀完本頁後快速檢查是否都掌握。
3Blue1Brown：極限與 L'Hôpital 法則的直覺
簡述：用動畫解釋「極限」嚴格定義背後的想法，後半段介紹 Unit 4 會用到的 L'Hôpital 法則。適合想真正理解「逼近」意義的同學。
練習題
練習 1：因式分解
求 \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2+x-6}{x^2-4}\)。
看解答
代入得 \(\dfrac00\)。因式分解：\(\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x+3}{x+2}\)，代入 \(x=2\) 得 \(\dfrac{5}{4}\)。
練習 2：有理化
求 \(\displaystyle\lim_{x\to 9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}\)。
看解答
\(x-9=(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)\)，約分得 \(\dfrac{1}{\sqrt x+3}\)，代入得 \(\dfrac{1}{6}\)。
練習 3：三角極限
求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 7x}\)。
看解答
\(\dfrac{\sin 3x}{\sin 7x}=\dfrac{\sin 3x}{3x}\cdot\dfrac{7x}{\sin 7x}\cdot\dfrac{3}{7}\to 1\cdot 1\cdot\dfrac37=\dfrac{3}{7}\)。
練習 4：水平漸近線
求 \(f(x)=\dfrac{4x^3-x+2}{2x^3+5x^2}\) 的水平漸近線。
看解答
分子分母最高次數都是 3，極限為係數比 \(\dfrac42=2\)，水平漸近線 \(y=2\)。
練習 5：連續性
設 \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\ne 1\\ a, & x=1\end{cases}\)。\(a\) 為多少時 \(f\) 在 \(x=1\) 連續？若 \(a=3\)，屬於哪一種不連續？
看解答
\(\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)，所以 \(a=2\) 時連續。若 \(a=3\)，極限存在但不等於 \(f(1)\)，是可移除不連續。
練習 6：IVT（FRQ 風格）
\(f\) 在 \([0,4]\) 上連續，\(f(0)=5\)、\(f(2)=-1\)、\(f(4)=3\)。\(f(x)=0\) 在 \([0,4]\) 上至少有幾個解？說明理由。
看解答
至少 2 個。 因為 \(f\) 在 \([0,2]\) 上連續且 \(f(2)=-1<0<5=f(0)\)，由 IVT 至少有一個 \(c_1\in(0,2)\) 使 \(f(c_1)=0\)；同理 \(f\) 在 \([2,4]\) 上連續且 \(f(2)=-1<0<3=f(4)\)，至少有一個 \(c_2\in(2,4)\) 使 \(f(c_2)=0\)。