BC 限定：只有 AP Calculus BC 會考
Unit 8 BC：曲線弧長
曲線弧長（arc length）是平面曲線從一點到另一點的長度，是 Unit 8 唯一的 BC 限定小節（官方 8.13）。做法是把曲線切成許多小段，每段用直線（斜邊）近似，再用積分加總。這個想法在 Unit 9 的參數式弧長會再次使用。
弧長公式從哪裡來？
在很短的一段曲線上，水平變化 \(dx\)、垂直變化 \(dy\)，由畢氏定理，這段長度約為
把所有小段加起來，就得到弧長公式。
弧長公式
\(y=f(x)\) 從 \(x=a\) 到 \(x=b\) 的弧長：
若曲線寫成 \(x=g(y)\)，從 \(y=c\) 到 \(y=d\)：
大多數弧長題要用計算機
根號內通常無法化成完全平方，所以弧長題多出現在需要計算機的部分：寫出積分式後直接用計算機求數值（至少三位小數）。手算題通常會設計成 \(1+[f']^2\) 剛好是完全平方。
例題：可手算的弧長
求 \(y=\dfrac23x^{3/2}\) 從 \(x=0\) 到 \(x=3\) 的弧長。
\(f'(x)=x^{1/2}\)，\(1+[f']^2=1+x\)。
\(L=\displaystyle\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\frac23(1+x)^{3/2}\Big|_0^3=\frac23(8-1)=\frac{14}{3}\)。
常見錯誤
- 忘記根號內的 \(1\)，寫成 \(\int\sqrt{[f'(x)]^2}\,dx\)。
- 把 \(f(x)\)（而不是 \(f'(x)\)）代入公式。
- 計算機題只寫數值沒寫積分式，失去列式分。
推薦影音
The Organic Chemistry Tutor：弧長計算
簡述：說明弧長公式的推導，並示範多種可手算的弧長題，包括 \(1+[f']^2\) 化成完全平方的技巧。
練習題
練習 1：完全平方型
求 \(y=\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{1}{2x}\) 從 \(x=1\) 到 \(x=2\) 的弧長。
看解答
\(f'(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2x^2}\)，
\(1+[f']^2=1+\dfrac{x^4}{4}-\dfrac12+\dfrac{1}{4x^4}=\left(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2x^2}\right)^2\)。
\(L=\displaystyle\int_1^2\left(\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^2}\right)dx=\left[\frac{x^3}{6}-\frac{1}{2x}\right]_1^2=\left(\frac43-\frac14\right)-\left(\frac16-\frac12\right)=\frac{17}{12}\)。
練習 2：三角恆等式
求 \(y=\ln(\cos x)\) 從 \(x=0\) 到 \(x=\dfrac\pi4\) 的弧長。
看解答
\(f'(x)=-\tan x\)，\(1+\tan^2x=\sec^2x\)，\(\sqrt{\sec^2x}=\sec x\)（在此區間 \(\sec x>0\)）。
\(L=\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sec x\,dx=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert\Big|_0^{\pi/4}=\ln(\sqrt2+1)\approx 0.881\)。
練習 3：計算機題
寫出 \(y=x^2\) 從 \(x=0\) 到 \(x=1\) 的弧長積分式，並用計算機求值。
看解答
\(L=\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+4x^2}\,dx\approx 1.479\)。
練習 4：對 \(y\) 積分
寫出 \(x=y^2\) 從 \(y=0\) 到 \(y=2\) 的弧長積分式，並用計算機求值。
看解答
\(g'(y)=2y\)，\(L=\displaystyle\int_0^2\sqrt{1+4y^2}\,dy\approx 4.647\)。