BC 限定：只有 AP Calculus BC 會考
Unit 7 BC：Euler 法與 Logistic 模型
Unit 7 的 BC 限定小節有兩個：Euler 法（Euler's method，官方 7.5）是用一小段一小段的切線「走」出微分方程近似解的數值方法；Logistic 模型（官方 7.9）描述有承載量上限的成長，例如資源有限的族群數量。讀本頁前請先讀 Unit 7 微分方程。
Euler 法怎麼算？
已知 \(\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)\) 與起點 \((x_0,y_0)\)，取步長 \(\Delta x\)，每一步沿著目前點的切線前進：
建議用表格整理，不容易算錯：
例題：\(\frac{dy}{dx}=x+y\)，\(y(0)=1\)，\(\Delta x=0.5\)，估計 \(y(1)\)
| \(x_n\) | \(y_n\) | 斜率 \(x_n+y_n\) | \(\Delta y=0.5\times\) 斜率 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 0.5 |
| 0.5 | 1.5 | 2 | 1 |
| 1 | 2.5 | — | — |
所以 \(y(1)\approx 2.5\)。
Euler 法是高估還是低估？
與線性近似相同，看解曲線的凹凸性：凹向上（\(\frac{d^2y}{dx^2}>0\)）時切線在曲線下方，Euler 法低估；凹向下時高估。上例中 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}=1+x+y>0\)，所以 2.5 是低估（真實值 \(2e-2\approx 3.437\)）。
Logistic 模型
Logistic 微分方程：
\(k>0\) 是成長常數，\(L\) 是承載量（carrying capacity）。不必背解的公式，AP 主要考以下性質：
| 性質 | 結論 |
|---|---|
| 長期趨勢 | 若 \(P(0)>0\)，則 \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}P(t)=L\) |
| 成長最快 | \(P=\dfrac{L}{2}\) 時 \(\dfrac{dP}{dt}\) 最大（解曲線的反曲點） |
| \(0<P<L\) | \(P\) 遞增 |
| \(P>L\) | \(P\) 遞減並趨近 \(L\) |
把方程式整理成標準形式
題目常寫成 \(\dfrac{dP}{dt}=3P-0.006P^2\)。提出 \(3P\)：\(3P\left(1-\dfrac{P}{500}\right)\)，所以 \(k=3\)、\(L=500\)。
Logistic 方程式的解為 \(P(t)=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}\)，其中 \(A=\dfrac{L-P(0)}{P(0)}\)；推導需要部分分式，偶爾在選擇題出現。
常見錯誤
- Euler 法每一步都要用新的點算斜率，不是一直用起點的斜率。
- 步長與步數算錯：從 \(x=0\) 到 \(x=1\)、\(\Delta x=0.25\) 要走 4 步。
- Logistic 題把「成長最快的 \(P\)」答成 \(L\)，正確答案是 \(\dfrac L2\)。
推薦影音
Khan Academy：Euler 法
簡述：用斜率場的圖像說明 Euler 法的原理，並一步步以表格計算近似值，對應本頁例題的做法。
The Algebros：Logistic 模型（官方 7.9）
簡述：對應官方 7.9 小節，說明承載量、成長最快的位置，以及如何從方程式讀出 \(k\) 和 \(L\)。
練習題
練習 1：Euler 法
\(\dfrac{dy}{dx}=2x\)，\(y(1)=3\)。用步長 \(0.1\) 的 Euler 法兩步估計 \(y(1.2)\)，並與真實值比較。
看解答
第一步：斜率 \(2(1)=2\)，\(y(1.1)\approx 3+0.1(2)=3.2\)。
第二步：斜率 \(2(1.1)=2.2\)，\(y(1.2)\approx 3.2+0.1(2.2)=3.42\)。
真實解 \(y=x^2+2\)，\(y(1.2)=3.44\)。解曲線凹向上，所以 Euler 法低估，符合結果。
練習 2：Euler 法（含 \(y\)）
\(\dfrac{dy}{dx}=1-y\)，\(y(0)=0\)。用 \(\Delta x=0.5\) 估計 \(y(1)\)。
看解答
第一步：斜率 \(1-0=1\)，\(y(0.5)\approx 0+0.5(1)=0.5\)。
第二步：斜率 \(1-0.5=0.5\)，\(y(1)\approx 0.5+0.5(0.5)=0.75\)。
練習 3：Logistic 性質
\(\dfrac{dP}{dt}=0.2P\left(1-\dfrac{P}{500}\right)\)，\(P(0)=100\)。(a) 求 \(\lim_{t\to\infty}P(t)\)。(b) \(P\) 為多少時成長最快？
看解答
(a) \(L=500\)，且 \(P(0)>0\)，所以極限為 \(500\)。
(b) \(P=\dfrac{500}{2}=250\) 時成長最快。
練習 4：整理成標準形式
\(\dfrac{dP}{dt}=0.05P-0.0001P^2\)。求承載量，並判斷 \(P(0)=800\) 時 \(P\) 的變化。
看解答
\(0.05P\left(1-\dfrac{P}{500}\right)\)，承載量 \(L=500\)。\(P(0)=800>L\)，此時 \(\dfrac{dP}{dt}<0\)，\(P\) 會遞減並趨近 \(500\)。
練習 5：Logistic 的解
承練習 3，寫出 \(P(t)\)。
看解答
\(A=\dfrac{500-100}{100}=4\)，\(P(t)=\dfrac{500}{1+4e^{-0.2t}}\)。檢查：\(P(0)=\dfrac{500}{5}=100\)。