AB 必考 BC 也考
Unit 5 微分的分析應用
Unit 5 用一階與二階導數分析函數圖形：均值定理（MVT）連結平均與瞬間變化率，\(f'\) 的正負號決定遞增遞減與相對極值，\(f''\) 的正負號決定凹凸性與反曲點，最後把這些工具用在最佳化問題。這是 AB 配分最高的單元之一，約佔 AB 考試 15–18%、BC 考試 8–11%。
均值定理（MVT）與極值定理（EVT）
均值定理：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上連續、在 \((a,b)\) 內可微，則至少存在一個 \(c\in(a,b)\)，使
意思是：一定有某一點的切線斜率等於兩端點割線斜率。FRQ 使用時兩個條件都要寫出來。
極值定理：若 \(f\) 在閉區間 \([a,b]\) 上連續，則 \(f\) 在該區間一定有絕對極大值與絕對極小值。
遞增、遞減與相對極值
臨界點（critical point）：\(f'(c)=0\) 或 \(f'(c)\) 不存在，且 \(c\) 在 \(f\) 的定義域內。
- \(f'>0\)：\(f\) 遞增；\(f'<0\)：\(f\) 遞減。
- 一階導數判別法：\(f'\) 在 \(c\) 由正變負 → 相對極大；由負變正 → 相對極小；不變號 → 不是極值。
例題：找相對極值
\(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\)。\(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)\)，臨界點 \(x=-1\)、\(x=3\)。
| 區間 | \(x<-1\) | \(-1<x<3\) | \(x>3\) |
|---|---|---|---|
| \(f'\) 符號 | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
| \(f\) | 遞增 | 遞減 | 遞增 |
\(x=-1\) 相對極大（\(f'\) 由正變負）；\(x=3\) 相對極小（\(f'\) 由負變正）。
絕對極值：候選點檢驗法
在閉區間 \([a,b]\) 上找絕對極值（Candidates Test）：
- 找出區間內所有臨界點。
- 計算臨界點與兩個端點的函數值。
- 最大者為絕對極大值，最小者為絕對極小值。
凹凸性與反曲點
- \(f''>0\)：凹向上（concave up），\(f'\) 遞增，圖形像碗。
- \(f''<0\)：凹向下（concave down），\(f'\) 遞減，圖形像帽子。
- 反曲點（point of inflection）：\(f''\) 改變正負號的點。只有 \(f''=0\) 不夠，例如 \(f(x)=x^4\) 在 \(x=0\) 有 \(f''=0\) 但不是反曲點。
二階導數判別法：若 \(f'(c)=0\) 且 \(f''(c)<0\) → 相對極大；\(f''(c)>0\) → 相對極小；\(f''(c)=0\) → 無法判斷。
從 \(f'\) 的圖形看 \(f\)
AP 常給 \(f'\) 的圖形，問 \(f\) 的性質。對照方式：
| 看 \(f'\) 的圖 | 代表 \(f\) 的性質 |
|---|---|
| \(f'\) 在 \(x\) 軸上方／下方 | \(f\) 遞增／遞減 |
| \(f'\) 穿越 \(x\) 軸 | \(f\) 的相對極值 |
| \(f'\) 上升／下降 | \(f\) 凹向上／凹向下 |
| \(f'\) 的峰頂或谷底 | \(f\) 的反曲點 |
最佳化問題
- 畫圖、定義變數，寫出要最大化或最小化的目標函數。
- 利用限制條件把目標函數改寫成單一變數。
- 確定變數的合理範圍（定義域）。
- 求臨界點，並用一階導數判別法或候選點檢驗法說明它確實是最大或最小值。
常見錯誤
- 找絕對極值時忘了檢查端點。
- 只因 \(f''(c)=0\) 就說是反曲點，沒有確認 \(f''\) 變號。
- 「\(f'\) 遞減」與「\(f\) 遞減」搞混：看清楚題目給的是 \(f\) 還是 \(f'\) 的圖。
推薦影音
Krista King：Unit 5 完整複習
簡述：約 80 分鐘，涵蓋 MVT、EVT、臨界點、一階與二階導數判別法、凹凸性、\(f\)／\(f'\)／\(f''\) 圖形關係與最佳化，題目量大，適合分段觀看。
The Organic Chemistry Tutor：均值定理
簡述：說明 MVT 的條件與幾何意義，示範如何求出滿足定理的 \(c\) 值，對應本頁練習 1。
The Organic Chemistry Tutor：最佳化問題
簡述：圍籬面積、無蓋箱子體積、最短距離等經典最佳化題型逐題示範，適合練習「建立目標函數」的能力。
練習題
練習 1：均值定理
\(f(x)=x^2-4x\) 在 \([0,3]\) 上，求滿足 MVT 的 \(c\)。
看解答
\(f\) 是多項式，在 \([0,3]\) 連續、\((0,3)\) 可微。割線斜率 \(\dfrac{f(3)-f(0)}{3}=\dfrac{-3-0}{3}=-1\)。令 \(f'(c)=2c-4=-1\)，得 \(c=\dfrac32\)。
練習 2：絕對極值
求 \(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\) 在 \([-2,4]\) 上的絕對極大值與絕對極小值。
看解答
臨界點 \(x=-1,3\)（見上方例題）。候選點：
\(f(-2)=3\)，\(f(-1)=10\)，\(f(3)=-22\)，\(f(4)=-15\)。
絕對極大值 \(10\)（在 \(x=-1\)），絕對極小值 \(-22\)（在 \(x=3\)）。
練習 3：凹凸性與反曲點
承上題的 \(f\)，求凹向上的區間與反曲點。
看解答
\(f''(x)=6x-6\)。\(x>1\) 時 \(f''>0\)，凹向上；\(x<1\) 時凹向下。\(f''\) 在 \(x=1\) 變號，反曲點為 \((1,f(1))=(1,-6)\)。
練習 4：二階導數判別法
\(f(x)=xe^{-x}\)，找出臨界點並判斷是相對極大還是極小。
看解答
\(f'(x)=e^{-x}(1-x)\)，臨界點 \(x=1\)。\(f''(x)=e^{-x}(x-2)\)，\(f''(1)=-e^{-1}<0\)，所以 \(x=1\) 是相對極大。
練習 5：從 \(f'\) 判斷極值
已知 \(f'(x)=(x-1)^2(x+2)\)。\(f\) 在哪裡有相對極值？
看解答
臨界點 \(x=-2\)、\(x=1\)。\((x-1)^2\ge 0\)，所以 \(f'\) 的正負號只由 \((x+2)\) 決定：\(x<-2\) 時為負、\(x>-2\) 時為正。
\(x=-2\)：\(f'\) 由負變正，相對極小。\(x=1\)：\(f'\) 兩側都是正，不是極值。
練習 6：最佳化
用 120 公尺的圍籬沿河岸圍一塊長方形地，靠河的一邊不需圍籬。最大面積是多少？
看解答
垂直河岸的兩邊各 \(x\)，平行河岸的邊 \(y\)：\(2x+y=120\)。面積 \(A(x)=x(120-2x)\)，\(0<x<60\)。
\(A'(x)=120-4x=0\Rightarrow x=30\)。\(A''(x)=-4<0\)，是最大值。\(y=60\)，最大面積 \(1800\) m²。