AB 必考 BC 也考
Unit 3 微分：合成、隱函數與反函數
Unit 3 處理三種無法直接套用 Unit 2 基本法則的函數：合成函數用連鎖律（chain rule）、無法寫成 \(y=f(x)\) 的關係式用隱函數微分（implicit differentiation）、反函數與反三角函數用反函數導數公式。本單元也介紹二階以上的高階導數。約佔 AB 考試 9–13%、BC 考試 4–7%。
連鎖律：合成函數怎麼微分？
若 \(y=f(g(x))\)，則
口訣：「外層微分（裡面照抄）× 內層微分」。多層合成就一層一層往內乘下去。
| 函數 | 外層 | 內層 | 導數 |
|---|---|---|---|
| \((3x^2+1)^5\) | \(u^5\) | \(3x^2+1\) | \(5(3x^2+1)^4\cdot 6x\) |
| \(\sin(x^3)\) | \(\sin u\) | \(x^3\) | \(\cos(x^3)\cdot 3x^2\) |
| \(e^{\tan x}\) | \(e^u\) | \(\tan x\) | \(e^{\tan x}\sec^2x\) |
| \(\ln(x^2+4)\) | \(\ln u\) | \(x^2+4\) | \(\dfrac{2x}{x^2+4}\) |
例題：用表格套連鎖律
\(h(x)=f(g(x))\)，已知 \(g(2)=3\)、\(g'(2)=-1\)、\(f'(3)=4\)，求 \(h'(2)\)。
\(h'(2)=f'(g(2))\cdot g'(2)=f'(3)\cdot(-1)=-4\)。注意 \(f'\) 要代入的是 \(g(2)\)，不是 \(2\)。
隱函數微分：\(y\) 解不出來怎麼辦？
像 \(x^2+xy+y^2=7\) 這種方程式很難解出 \(y\)。做法是兩邊同時對 \(x\) 微分，把 \(y\) 當成 \(x\) 的函數；每次微分到含 \(y\) 的項，都要乘上 \(\dfrac{dy}{dx}\)（這就是連鎖律）。
例題：隱函數微分
求 \(x^2+xy+y^2=7\) 在點 \((1,2)\) 的切線斜率。
兩邊對 \(x\) 微分：\(2x+\left(y+x\dfrac{dy}{dx}\right)+2y\dfrac{dy}{dx}=0\)。
整理：\(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+y}{x+2y}\)，代入 \((1,2)\)：\(-\dfrac{4}{5}\)。
隱函數的二階導數
求 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) 時，對 \(\dfrac{dy}{dx}\) 再微分一次，過程中出現的 \(\dfrac{dy}{dx}\) 用剛才求出的式子代回去，最後常可用原方程式化簡。
反函數與反三角函數的導數
若 \(g\) 是 \(f\) 的反函數，且 \(f(a)=b\)，則
幾何意義：反函數圖形對 \(y=x\) 對稱，所以對應點的切線斜率互為倒數。
反三角函數導數（必背）：
高階導數
\(f''(x)\) 是 \(f'(x)\) 的導數，記作 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)。在運動問題中，位置的一階導數是速度、二階導數是加速度；在圖形分析中，\(f''\) 決定凹凸性（見 Unit 5）。
常見錯誤
- 連鎖律漏乘內層導數：\(\dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)\)，不是 \(\cos(2x)\)。
- 隱函數微分時忘記 \(y^2\) 的導數是 \(2y\dfrac{dy}{dx}\)，或 \(xy\) 沒用乘法法則。
- 反函數導數代錯點：\(g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}\)，分母要代入 \(a=g(b)\)，不是 \(b\)。
推薦影音
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練習題
練習 1：連鎖律
求 \(\dfrac{d}{dx}(3x^2+1)^5\)。
看解答
\(5(3x^2+1)^4\cdot 6x=30x(3x^2+1)^4\)。
練習 2：多層合成
求 \(\dfrac{d}{dx}\sin^3(2x)\)。
看解答
\(\sin^3(2x)=[\sin(2x)]^3\)，由外往內：\(3\sin^2(2x)\cdot\cos(2x)\cdot 2=6\sin^2(2x)\cos(2x)\)。
練習 3：對數與連鎖律
求 \(\dfrac{d}{dx}\ln(\cos x)\)。
看解答
\(\dfrac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\tan x\)。
練習 4：隱函數微分
\(x^2+y^2=25\)，求 \(\dfrac{dy}{dx}\) 與 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)。
看解答
\(2x+2y\,y'=0\Rightarrow y'=-\dfrac{x}{y}\)。
再微分：\(y''=-\dfrac{y-x\,y'}{y^2}=-\dfrac{y+\frac{x^2}{y}}{y^2}=-\dfrac{x^2+y^2}{y^3}=-\dfrac{25}{y^3}\)。
練習 5：反函數的導數
\(f(x)=x^3+x+1\)，\(g\) 為 \(f\) 的反函數，求 \(g'(3)\)。
看解答
先找 \(a\) 使 \(f(a)=3\)：\(a^3+a+1=3\)，得 \(a=1\)。\(f'(x)=3x^2+1\)，\(f'(1)=4\)。所以 \(g'(3)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac14\)。
練習 6：反三角函數
求 \(\dfrac{d}{dx}\arctan(2x)\) 與 \(\dfrac{d}{dx}\arcsin(x^2)\)。
看解答
\(\dfrac{1}{1+(2x)^2}\cdot 2=\dfrac{2}{1+4x^2}\)；\(\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\)。
練習 7：表格與乘法、連鎖律
| \(x\) | \(f(x)\) | \(f'(x)\) | \(g(x)\) | \(g'(x)\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | −2 | 2 | 5 |
| 2 | 1 | 4 | 3 | −1 |
設 \(k(x)=f(x)\,g(x)\)、\(m(x)=g(f(x))\)，求 \(k'(1)\) 與 \(m'(2)\)。
看解答
\(k'(1)=f'(1)g(1)+f(1)g'(1)=(-2)(2)+(3)(5)=11\)。
\(m'(2)=g'(f(2))\cdot f'(2)=g'(1)\cdot 4=5\cdot 4=20\)。