公式總整理
AP Calculus 考試不提供公式表，下列公式都必須背熟。本頁依單元整理 AB 與 BC 共同的公式，BC 限定的公式放在紫色「BC 限定」提示框中；考 AB 的同學可以跳過紫色區塊。
極限
連續的定義：\(f\) 在 \(x=c\) 連續 \(\iff\) \(f(c)\) 有定義、\(\lim_{x\to c}f(x)\) 存在，且 \(\lim_{x\to c}f(x)=f(c)\)。
L'Hôpital 法則：若 \(\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}\) 是 \(\dfrac{0}{0}\) 或 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型，則 \(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)。
導數
定義：\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
| 函數 | 導數 | 函數 | 導數 |
|---|---|---|---|
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(a^x\) | \(a^x\ln a\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) |
| \(\tan x\) | \(\sec^2 x\) | \(\log_a x\) | \(\dfrac{1}{x\ln a}\) |
| \(\cot x\) | \(-\csc^2 x\) | \(\arcsin x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| \(\sec x\) | \(\sec x\tan x\) | \(\arccos x\) | \(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| \(\csc x\) | \(-\csc x\cot x\) | \(\arctan x\) | \(\dfrac{1}{1+x^2}\) |
運算法則：
反函數的導數：若 \(g=f^{-1}\)，則 \(g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}\)。
導數的應用定理
- 均值定理（MVT）：\(f\) 在 \([a,b]\) 連續、\((a,b)\) 可微，則存在 \(c\in(a,b)\) 使 \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。
- 中間值定理（IVT）：\(f\) 在 \([a,b]\) 連續，\(k\) 介於 \(f(a)\) 與 \(f(b)\) 之間，則存在 \(c\in[a,b]\) 使 \(f(c)=k\)。
- 極值定理（EVT）：\(f\) 在閉區間 \([a,b]\) 連續，則 \(f\) 在 \([a,b]\) 上一定有絕對極大值與絕對極小值。
- 線性近似：\(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\)。
積分
| 被積函數 | 反導函數 | 被積函數 | 反導函數 |
|---|---|---|---|
| \(x^n\ (n\ne -1)\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln\lvert x\rvert+C\) |
| \(e^x\) | \(e^x+C\) | \(a^x\) | \(\dfrac{a^x}{\ln a}+C\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x+C\) | \(\cos x\) | \(\sin x+C\) |
| \(\sec^2 x\) | \(\tan x+C\) | \(\csc^2 x\) | \(-\cot x+C\) |
| \(\sec x\tan x\) | \(\sec x+C\) | \(\csc x\cot x\) | \(-\csc x+C\) |
| \(\tan x\) | \(-\ln\lvert\cos x\rvert+C\) | \(\cot x\) | \(\ln\lvert\sin x\rvert+C\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) | \(\arcsin\dfrac{x}{a}+C\) | \(\dfrac{1}{a^2+x^2}\) | \(\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C\) |
微積分基本定理（FTC）：
平均值：\(f\) 在 \([a,b]\) 的平均值 \(=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)。
BC 限定：積分技巧
- 分部積分：\(\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\)
- 部分分式：\(\dfrac{1}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\)（只考不可重複的一次因式）
- 瑕積分：\(\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx\)
微分方程
- 分離變數：把 \(\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)\) 改寫成 \(\dfrac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx\)，兩邊積分。
- 指數成長：\(\dfrac{dy}{dt}=ky\ \Rightarrow\ y=y_0e^{kt}\)。
BC 限定：Euler 法與 Logistic 模型
- Euler 法：\(y_{n+1}=y_n+\Delta x\cdot\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(x_n,\,y_n)}\)
- Logistic 模型：\(\dfrac{dP}{dt}=kP\left(1-\dfrac{P}{L}\right)\)，\(\lim_{t\to\infty}P=L\)，\(P=\dfrac{L}{2}\) 時成長最快。
積分的應用
- 兩曲線間面積：\(A=\displaystyle\int_a^b\big(\text{上}-\text{下}\big)\,dx\)
- 圓盤法：\(V=\pi\displaystyle\int_a^b [R(x)]^2\,dx\)
- 墊圈法：\(V=\pi\displaystyle\int_a^b\big([R(x)]^2-[r(x)]^2\big)\,dx\)
- 已知截面：\(V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx\)（正方形 \(A=s^2\)；半圓 \(A=\dfrac{\pi}{8}s^2\)，\(s\) 為直徑）
- 位移：\(\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt\)；總移動距離：\(\displaystyle\int_a^b \lvert v(t)\rvert\,dt\)
BC 限定：弧長
\(y=f(x)\) 從 \(x=a\) 到 \(x=b\) 的弧長：\(L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx\)
BC 限定：參數式、極座標、向量（Unit 9）
- 參數式斜率：\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\)；二階導數 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}\)
- 參數式弧長／速率：\(L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\)，速率 \(=\lVert\vec v(t)\rVert\)
- 極座標面積：\(A=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta\)
- 極座標斜率：\(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)，\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}\)
BC 限定：級數（Unit 10）
- 幾何級數：\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}\)，\(\lvert r\rvert<1\) 時收斂
- \(p\) 級數：\(\displaystyle\sum\frac{1}{n^p}\) 在 \(p>1\) 時收斂，\(p\le 1\) 時發散
- 比值檢定：\(\lim\left\lvert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert<1\) 收斂（絕對收斂），\(>1\) 發散，\(=1\) 無法判斷
- 交錯級數誤差：誤差 \(\le\) 第一個省略項的絕對值
- 泰勒多項式：\(P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\)
- Lagrange 誤差界：\(\lvert R_n(x)\rvert\le\dfrac{\max\lvert f^{(n+1)}\rvert}{(n+1)!}\lvert x-a\rvert^{n+1}\)
- 必背 Maclaurin 級數：
練習題
練習 1：快速微分
求 \(\dfrac{d}{dx}\left[x^2\arctan x\right]\)。
看解答
用乘法法則：\(2x\arctan x+\dfrac{x^2}{1+x^2}\)。
練習 2：快速積分
求 \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx\)。
看解答
\(\tan x\Big|_0^{\pi/4}=1-0=1\)。
練習 3：FTC 第一部分
設 \(g(x)=\displaystyle\int_1^{x^3}\ln t\,dt\)，求 \(g'(2)\)。
看解答
\(g'(x)=\ln(x^3)\cdot 3x^2\)，所以 \(g'(2)=\ln 8\cdot 12=12\ln 8=36\ln 2\)。