AB 必考 BC 也考
Unit 7 微分方程
微分方程（differential equation）是含有未知函數導數的方程式，例如 \(\dfrac{dy}{dx}=ky\)，用來描述「變化率取決於目前狀態」的現象，像人口成長、放射性衰變與冷卻。Unit 7 學習驗證解、畫斜率場、用分離變數求解，以及指數成長與衰退模型。約佔 AB 考試 6–12%、BC 考試 6–9%。
BC 限定小節在另一頁
Euler 法（官方 7.5）與 Logistic 模型（官方 7.9）只有 BC 考，整理在 Unit 7 BC：Euler 法與 Logistic 模型。
什麼是微分方程的解？
微分方程的解是一個函數，代入後讓方程式成立。驗證方式：把候選函數和它的導數代入，看左右兩邊是否相等。
- 通解（general solution）：含任意常數 \(C\) 的一族函數。
- 特解（particular solution）：由初始條件（例如 \(y(0)=3\)）決定 \(C\) 之後的那一個函數。
斜率場（Slope Field）
斜率場是在平面上許多點畫出短線段，線段斜率等於微分方程在該點的 \(\dfrac{dy}{dx}\)。解曲線會順著這些線段前進。
- 若 \(\dfrac{dy}{dx}\) 只含 \(x\)：同一條垂直線上的線段斜率都相同。
- 若 \(\dfrac{dy}{dx}\) 只含 \(y\)：同一條水平線上的線段斜率都相同。
- 令 \(\dfrac{dy}{dx}=0\)，可找出所有水平線段的位置。
用微分方程判斷凹凸
對 \(\dfrac{dy}{dx}\) 再對 \(x\) 微分（\(y\) 也要用連鎖律），得到 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)，代入點的座標即可判斷解曲線在該點凹向上或凹向下。
分離變數法
適用於 \(\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)\) 的形式：
- 分離：把含 \(y\) 的移到一邊、含 \(x\) 的移到另一邊：\(\dfrac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx\)。
- 兩邊積分，只在一邊加 \(+C\)。
- 代入初始條件求 \(C\)（在解出 \(y\) 之前代入通常比較簡單）。
- 解出 \(y\)，並注意定義域。
例題：分離變數
解 \(\dfrac{dy}{dx}=y\cos x\)，\(y(0)=3\)。
\(\dfrac{dy}{y}=\cos x\,dx\Rightarrow\ln\lvert y\rvert=\sin x+C\)。代入 \((0,3)\)：\(\ln 3=C\)。
\(\lvert y\rvert=e^{\sin x+\ln 3}=3e^{\sin x}\)，因為 \(y(0)>0\)，所以 \(y=3e^{\sin x}\)。
FRQ 評分重點
分離變數題若沒有正確分離變數，後面步驟通常都不給分；忘了加 \(+C\) 或沒有用初始條件也會被扣分。
指數成長與衰退模型
「變化率與目前的量成正比」寫成 \(\dfrac{dy}{dt}=ky\)，解為
\(k>0\) 為成長，\(k<0\) 為衰退。若已知倍增時間 \(T\)，則 \(k=\dfrac{\ln 2}{T}\)；若已知半衰期 \(T\)，則 \(k=-\dfrac{\ln 2}{T}\)。
常見錯誤
- 分離變數時把 \(\dfrac{dy}{dx}=x+y\) 這種不能分離的方程式硬拆。
- 忘記 \(\ln\lvert y\rvert\) 的絕對值，或忘記依初始條件決定正負號。
- 斜率場判斷時把「只含 \(x\)」與「只含 \(y\)」的規則搞反。
推薦影音
3Blue1Brown：微分方程導覽
簡述：用單擺與人口模型說明微分方程在描述什麼，並介紹相位空間與斜率場的直覺。內容超出 AP 範圍的部分可略過，前半段最適合入門。
The Algebros：畫斜率場（官方 7.3）
簡述：對應官方 7.3 小節，示範如何依微分方程畫斜率場，以及如何把斜率場和方程式配對。
Calculus by Christee：Unit 7 完整複習
簡述：整理 Unit 7 的 AB 範圍題型，包含驗證解、斜率場、分離變數與指數模型，附 AP 風格例題。
練習題
練習 1：驗證解
驗證 \(y=Ce^{2x}-1\) 是 \(\dfrac{dy}{dx}=2y+2\) 的解。
看解答
左邊 \(\dfrac{dy}{dx}=2Ce^{2x}\)。右邊 \(2(Ce^{2x}-1)+2=2Ce^{2x}\)。兩邊相等，所以是解。
練習 2：斜率場
\(\dfrac{dy}{dx}=x-y\)。求點 \((1,3)\) 與 \((2,2)\) 的斜率，以及斜率場中所有水平線段所在的位置。
看解答
\((1,3)\)：\(1-3=-2\)；\((2,2)\)：\(0\)。令 \(x-y=0\)，水平線段都在直線 \(y=x\) 上。
練習 3：二階導數與凹凸
\(\dfrac{dy}{dx}=x+y\)。解曲線通過 \((0,1)\) 時是凹向上還是凹向下？
看解答
\(\dfrac{d^2y}{dx^2}=1+\dfrac{dy}{dx}=1+x+y\)。在 \((0,1)\)：\(1+0+1=2>0\)，凹向上。
練習 4：分離變數
解 \(\dfrac{dy}{dx}=xy^2\)，\(y(0)=1\)，並寫出解的定義域。
看解答
\(\dfrac{dy}{y^2}=x\,dx\Rightarrow-\dfrac1y=\dfrac{x^2}{2}+C\)。代入 \((0,1)\)：\(C=-1\)。
\(-\dfrac1y=\dfrac{x^2}{2}-1=\dfrac{x^2-2}{2}\Rightarrow y=\dfrac{2}{2-x^2}\)。
定義域需包含 \(x=0\) 且分母不為 0：\(-\sqrt2<x<\sqrt2\)。
練習 5：指數成長
細菌數量每 3 小時倍增，初始 500 個。寫出 \(P(t)\)，並求 12 小時後的數量。
看解答
\(k=\dfrac{\ln 2}{3}\)，\(P(t)=500e^{(\ln 2/3)t}=500\cdot 2^{t/3}\)。\(P(12)=500\cdot 2^4=8000\) 個。
練習 6：牛頓冷卻（FRQ 風格）
咖啡溫度 \(T\)（°F）滿足 \(\dfrac{dT}{dt}=-k(T-70)\)，\(k>0\)，\(T(0)=190\)。求 \(T(t)\)。
看解答
\(\dfrac{dT}{T-70}=-k\,dt\Rightarrow\ln\lvert T-70\rvert=-kt+C\)。\(t=0\)：\(C=\ln 120\)。
因為 \(T>70\)，\(T-70=120e^{-kt}\)，所以 \(T(t)=70+120e^{-kt}\)。