BC 限定：只有 AP Calculus BC 會考
Unit 6 BC：進階積分技巧
Unit 6 的 BC 限定小節（官方 6.11–6.13）介紹三種 AB 沒有的積分技巧：分部積分（integration by parts）處理兩種函數相乘、部分分式（partial fractions）處理有理函數、瑕積分（improper integrals）處理無窮區間或無界函數。讀本頁前請先熟練 Unit 6 的變數代換。
分部積分：兩個函數相乘怎麼積？
分部積分是乘法法則的反向操作：
怎麼選 \(u\)？ 用 LIATE 順序，排在前面的優先當 \(u\)（因為微分後會變簡單）：
| 順序 | 類型 | 例子 |
|---|---|---|
| L | 對數（Logarithmic） | \(\ln x\) |
| I | 反三角（Inverse trig） | \(\arctan x\) |
| A | 代數（Algebraic） | \(x^2\) |
| T | 三角（Trigonometric） | \(\sin x\) |
| E | 指數（Exponential） | \(e^x\) |
例題：\(\int x e^x\,dx\)
\(u=x\)、\(dv=e^x\,dx\)，所以 \(du=dx\)、\(v=e^x\)。
\(\displaystyle\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C\)。
表格法（Tabular Method）
\(u\) 是多項式、需要重複分部積分時，用表格法最快：左欄一直微分到 0，右欄一直積分，斜線相乘並依序加上 \(+,-,+,\dots\) 號。例如 \(\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C\)。
部分分式：有理函數怎麼積？
分母可以分解成不重複的一次因式時，把分式拆成幾個簡單分式的和，再分別積分成 \(\ln\)。AP BC 只考這種情況。
例題：\(\int\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)}\,dx\)
設 \(\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-2}\)，兩邊乘分母：\(5x-1=A(x-2)+B(x+1)\)。
代 \(x=2\)：\(9=3B\)，\(B=3\)；代 \(x=-1\)：\(-6=-3A\)，\(A=2\)。
\(\displaystyle\int\left(\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}\right)dx=2\ln\lvert x+1\rvert+3\ln\lvert x-2\rvert+C\)。
瑕積分：積分到無窮遠
積分區間無限長，或被積函數在區間內無界時，用極限定義：
極限存在（是有限值）稱為收斂，否則發散。重要結論：
這個結果在 Unit 10 的積分檢定與 \(p\) 級數會再用到。
一定要寫極限
FRQ 評分要求寫出 \(\displaystyle\lim_{b\to\infty}\) 的極限式；直接把 \(\infty\) 代入反導函數會被扣分。
常見錯誤
- 分部積分選錯 \(u\)，導致積分越做越複雜。
- 部分分式前沒先檢查是否需要長除法（分子次數 \(\ge\) 分母次數時要先除）。
- 瑕積分在區間內有垂直漸近線卻沒發現，例如 \(\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}\,dx\) 是發散的，不是 \(-2\)。
推薦影音
The Organic Chemistry Tutor：分部積分
簡述：從選 \(u\) 的原則開始，示範對數、反三角、多項式乘指數或三角等題型，包含需要兩次分部積分的例子。
The Organic Chemistry Tutor：部分分式積分
簡述：示範如何拆分有理函數並積分。影片後段包含重複因式與二次因式，超出 AP 範圍，可只看一次因式的部分。
The Organic Chemistry Tutor：瑕積分的收斂與發散
簡述：說明無窮區間與無界函數兩類瑕積分的寫法，以及如何判斷收斂或發散。
練習題
練習 1：分部積分
求 \(\displaystyle\int\ln x\,dx\)。
看解答
\(u=\ln x\)、\(dv=dx\)，\(du=\dfrac{dx}{x}\)、\(v=x\)。\(x\ln x-\displaystyle\int x\cdot\frac1x\,dx=x\ln x-x+C\)。
練習 2：定積分的分部積分
求 \(\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx\)。
看解答
\(u=x\)、\(dv=\sin x\,dx\)，\(v=-\cos x\)。\(\left[-x\cos x\right]_0^\pi+\displaystyle\int_0^\pi\cos x\,dx=\pi+\left[\sin x\right]_0^\pi=\pi\)。
練習 3：表格法
求 \(\displaystyle\int x^2e^{2x}\,dx\)。
看解答
| 微分 | 積分 |
|---|---|
| \(x^2\) | \(e^{2x}\) |
| \(2x\) | \(\frac12e^{2x}\) |
| \(2\) | \(\frac14e^{2x}\) |
| \(0\) | \(\frac18e^{2x}\) |
\(\dfrac12x^2e^{2x}-\dfrac12xe^{2x}+\dfrac14e^{2x}+C=\dfrac{e^{2x}}{4}(2x^2-2x+1)+C\)。
練習 4：部分分式
求 \(\displaystyle\int\frac{1}{x^2-1}\,dx\)。
看解答
\(\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1/2}{x-1}-\dfrac{1/2}{x+1}\)。積分得 \(\dfrac12\ln\lvert x-1\rvert-\dfrac12\ln\lvert x+1\rvert+C=\dfrac12\ln\left\lvert\dfrac{x-1}{x+1}\right\rvert+C\)。
練習 5：瑕積分（無窮區間）
判斷 \(\displaystyle\int_0^\infty xe^{-x}\,dx\) 是否收斂；若收斂，求其值。
看解答
分部積分：\(\displaystyle\int xe^{-x}\,dx=-xe^{-x}-e^{-x}+C\)。
\(\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-xe^{-x}-e^{-x}\right]_0^b=\lim_{b\to\infty}\left(-be^{-b}-e^{-b}\right)-(-1)=0+1=1\)，收斂到 1。
練習 6：瑕積分（無界函數）
判斷 \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt x}\,dx\) 與 \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{x}\,dx\) 是否收斂。
看解答
\(\displaystyle\lim_{a\to 0^+}\left[2\sqrt x\right]_a^1=2-0=2\)，收斂。
\(\displaystyle\lim_{a\to 0^+}\left[\ln x\right]_a^1=0-(-\infty)=\infty\)，發散。