AB 必考 BC 也考
Unit 6 積分與變化的累積
定積分（definite integral）計算「變化率累積起來的總變化量」，幾何上是曲線與 \(x\) 軸之間的有號面積。Unit 6 從黎曼和（Riemann sum）近似面積開始，到微積分基本定理（FTC）把積分與導數連在一起，再學反導函數與變數代換。這是 AB 與 BC 配分最高的單元，兩科都約佔 17–20%。
BC 限定小節在另一頁
分部積分、部分分式與瑕積分（官方 6.11–6.13）只有 BC 考，整理在 Unit 6 BC：進階積分技巧。
為什麼「累積」就是面積？
若 \(r(t)\) 是速率（例如每小時流入的加侖數），在很短的時間 \(\Delta t\) 內，累積量約為 \(r(t)\,\Delta t\)，也就是一個細長矩形的面積。把所有小矩形加起來、再讓 \(\Delta t\to 0\)，就得到定積分：
曲線在 \(x\) 軸下方的部分，積分值為負。
黎曼和與梯形法
把 \([a,b]\) 分成小區間，每段用矩形或梯形近似面積：
| 方法 | 矩形高度取 | 遞增函數時 |
|---|---|---|
| 左黎曼和（Left） | 左端點的函數值 | 低估 |
| 右黎曼和（Right） | 右端點的函數值 | 高估 |
| 中點和（Midpoint） | 中點的函數值 | — |
| 梯形法（Trapezoidal） | 兩端平均：\(\dfrac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}\Delta x_i\) | — |
AP 常給不等寬的表格，每段寬度要分開算。
定積分是黎曼和的極限
看到 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum\) 的題目，要能反推出 \(f\)、\(a\)、\(b\)。
微積分基本定理（FTC）
第一部分（累積函數）：若 \(g(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\)，則 \(g'(x)=f(x)\)。上限是函數時要乘連鎖律：
第二部分（求值）：若 \(F'=f\)，則 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\)。
FTC 第一部分最常用來分析累積函數 \(g\)：\(g'=f\)，所以 \(f\) 的正負決定 \(g\) 的增減，\(f\) 的增減決定 \(g\) 的凹凸，方法與 Unit 5 相同。
定積分的性質
- \(\displaystyle\int_a^a f=0\)，\(\displaystyle\int_b^a f=-\int_a^b f\)
- \(\displaystyle\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f\)
- \(\displaystyle\int_a^b [kf\pm g]=k\int_a^b f\pm\int_a^b g\)
反導函數與變數代換（u-substitution）
不定積分 \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\)，\(+C\) 不可省略。基本反導函數就是把微分公式倒過來（見公式總整理）。
變數代換是連鎖律的反向操作：找一個 \(u\)，使被積函數裡同時出現 \(u\) 和 \(du\) 的倍數。
例題：定積分的變數代換
求 \(\displaystyle\int_0^1\frac{x}{x^2+1}\,dx\)。
令 \(u=x^2+1\)，\(du=2x\,dx\)。上下限一起換：\(x=0\to u=1\)，\(x=1\to u=2\)。
\(\displaystyle\frac12\int_1^2\frac{du}{u}=\frac12\ln u\Big|_1^2=\frac12\ln 2\)。
長除法與配方
- 分子次數 \(\ge\) 分母次數時，先長除法：\(\dfrac{x^2+1}{x+1}=x-1+\dfrac{2}{x+1}\)。
- 分母是無法分解的二次式時，配方後用 \(\arctan\)：\(\dfrac{1}{x^2+2x+5}=\dfrac{1}{(x+1)^2+4}\)。
常見錯誤
- 不定積分漏寫 \(+C\)。
- 定積分做變數代換後，上下限沒有換成 \(u\) 的值（或換了又代回 \(x\)）。
- 把「面積」和「積分值」搞混：曲線在 \(x\) 軸下方時，面積要取絕對值。
- FTC 第一部分上限是 \(x^2\) 等函數時，忘了乘上限的導數。
推薦影音
3Blue1Brown：積分與微積分基本定理
簡述：從「由速度求距離」出發，用動畫說明為什麼曲線下面積和反導函數有關，是理解 FTC 最直觀的影片。
3Blue1Brown：面積和斜率有什麼關係？
簡述：用平均值的概念解釋「積分」與「導數」為何互為逆運算，可與 Unit 8 的平均值公式對照。
The Algebros：用黎曼和近似面積（官方 6.2）
簡述：對應官方課綱 6.2 小節，示範左、右、中點黎曼和與不等寬表格題，對應本頁練習 1。
The Organic Chemistry Tutor：變數代換
簡述：由淺入深示範如何選擇 \(u\)，包含三角、指數與根式的變數代換，適合大量練習。
Maximum Insight：Unit 6 重點快速複習
簡述：約 20 分鐘整理 Unit 6 全部題型，從黎曼和到變數代換，適合讀完本頁後總複習。
練習題
練習 1：不等寬黎曼和
| \(t\)（小時） | 0 | 2 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| \(r(t)\)（加侖／小時） | 4 | 6 | 9 | 5 |
用左黎曼和與梯形法估計 \(\displaystyle\int_0^7 r(t)\,dt\)。
看解答
寬度依序為 2、3、2。
左黎曼和：\(4(2)+6(3)+9(2)=44\) 加侖。
梯形法：\(\dfrac{4+6}{2}(2)+\dfrac{6+9}{2}(3)+\dfrac{9+5}{2}(2)=10+22.5+14=46.5\) 加侖。
練習 2：黎曼和的極限
把 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(1+\frac{2k}{n}\right)^2\frac{2}{n}\) 寫成定積分並求值。
看解答
\(\Delta x=\dfrac2n\)，\(a=1\)，\(b=3\)，\(f(x)=x^2\)。\(\displaystyle\int_1^3x^2\,dx=\frac{27-1}{3}=\frac{26}{3}\)。
練習 3：FTC 第二部分
求 \(\displaystyle\int_1^4\left(3\sqrt x-\frac{2}{x^2}\right)dx\)。
看解答
反導函數 \(2x^{3/2}+\dfrac{2}{x}\)。\(\left(16+\dfrac12\right)-(2+2)=\dfrac{25}{2}\)。
練習 4：累積函數
\(g(x)=\displaystyle\int_0^x(t^2-4)\,dt\)。\(g\) 在哪個區間遞減？\(g\) 在哪裡凹向上？
看解答
\(g'(x)=x^2-4\)，\(g'<0\) 在 \(-2<x<2\)，所以 \(g\) 在 \((-2,2)\) 遞減。\(g''(x)=2x>0\) 在 \(x>0\)，所以 \(g\) 在 \(x>0\) 凹向上。
練習 5：積分性質
已知 \(\displaystyle\int_0^5f(x)\,dx=8\)、\(\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx=3\)，求 \(\displaystyle\int_5^2\big(2f(x)+1\big)\,dx\)。
看解答
\(\displaystyle\int_2^5f=8-3=5\)。\(\displaystyle\int_2^5(2f+1)\,dx=2(5)+3=13\)，上下限顛倒，所以答案是 \(-13\)。
練習 6：變數代換
求 \(\displaystyle\int x\cos(x^2)\,dx\) 與 \(\displaystyle\int\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx\)。
看解答
第一題 \(u=x^2\)：\(\dfrac12\sin(x^2)+C\)。第二題 \(u=\ln x\)，\(du=\dfrac{dx}{x}\)：\(\dfrac{(\ln x)^3}{3}+C\)。
練習 7：長除法與配方
求 \(\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x+1}\,dx\) 與 \(\displaystyle\int\frac{1}{x^2+2x+5}\,dx\)。
看解答
長除法：\(\displaystyle\int\left(x-1+\frac{2}{x+1}\right)dx=\frac{x^2}{2}-x+2\ln\lvert x+1\rvert+C\)。
配方：\(\displaystyle\int\frac{dx}{(x+1)^2+2^2}=\frac12\arctan\frac{x+1}{2}+C\)。