BC 限定：只有 AP Calculus BC 會考
Unit 10 無窮數列與級數
無窮級數（infinite series）是把無窮多項加起來，問它的和是否趨近一個有限值（收斂）。Unit 10 學習判斷級數收斂或發散的各種檢定法，以及用泰勒多項式（Taylor polynomial）與冪級數（power series）把 \(e^x\)、\(\sin x\) 等函數表示成「無窮次多項式」。本單元只有 BC 考，約佔 BC 考試 17–18%，是 BC 配分最高的單元之一。
數列與級數有什麼不同？
- 數列 \(\{a_n\}\) 是一串數：\(a_1,a_2,a_3,\dots\)。數列收斂指 \(\lim_{n\to\infty}a_n\) 存在。
- 級數 \(\sum a_n\) 是把數列加起來。令部分和 \(S_n=a_1+\cdots+a_n\)，若 \(\lim S_n=S\) 存在，級數收斂到 \(S\)。
收斂檢定怎麼選？
| 檢定 | 適用時機 | 結論 |
|---|---|---|
| 第 \(n\) 項檢定 | 永遠先檢查 | \(\lim a_n\ne 0\) → 發散；\(=0\) 無法判斷 |
| 幾何級數 | \(\sum ar^n\) | \(\lvert r\rvert<1\) 收斂到 \(\dfrac{a}{1-r}\)（\(a\) 為首項）；\(\lvert r\rvert\ge 1\) 發散 |
| \(p\) 級數 | \(\sum\dfrac1{n^p}\) | \(p>1\) 收斂；\(p\le 1\) 發散（\(p=1\) 是調和級數） |
| 積分檢定 | \(a_n=f(n)\)，\(f\) 正、連續、遞減 | \(\int_1^\infty f\) 與 \(\sum a_n\) 同斂散 |
| 直接比較 | 與已知級數比大小（正項） | 比收斂的小 → 收斂；比發散的大 → 發散 |
| 極限比較 | 形式像已知級數（正項） | \(\lim\dfrac{a_n}{b_n}=c\)，\(0<c<\infty\) → 同斂散 |
| 交錯級數檢定 | \(\sum(-1)^nb_n\) | \(b_n\) 遞減且 \(\to 0\) → 收斂 |
| 比值檢定 | 含 \(n!\)、\(a^n\) | \(\lim\left\lvert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert<1\) 收斂；\(>1\) 發散；\(=1\) 無法判斷 |
絕對收斂與條件收斂
- \(\sum\lvert a_n\rvert\) 收斂 → \(\sum a_n\) 絕對收斂（absolutely convergent）。
- \(\sum a_n\) 收斂但 \(\sum\lvert a_n\rvert\) 發散 → 條件收斂（conditionally convergent），例如 \(\sum\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\)。
交錯級數的誤差界
收斂的交錯級數用前 \(n\) 項估計總和時，誤差不超過第一個省略項的絕對值：\(\lvert S-S_n\rvert\le b_{n+1}\)。
泰勒多項式
\(f\) 在 \(x=a\) 的 \(n\) 次泰勒多項式：
\(a=0\) 時稱為 Maclaurin 多項式。重點：\((x-a)^k\) 項的係數就是 \(\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}\)，常被反過來考：「已知泰勒多項式，求 \(f'''(a)\)」。
Lagrange 誤差界
用 \(P_n\) 近似 \(f(x)\) 的誤差：
冪級數與收斂區間
冪級數 \(\sum c_n(x-a)^n\) 的收斂範圍是以 \(a\) 為中心的區間：
- 用比值檢定求出 \(\lvert x-a\rvert<R\)，\(R\) 為收斂半徑。
- 兩個端點要分別代入檢查（通常用 \(p\) 級數或交錯級數檢定），決定收斂區間是開區間、閉區間或半開區間。
必背的 Maclaurin 級數
| 函數 | 級數 | 收斂區間 |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots\) | \((-\infty,\infty)\) |
| \(\sin x\) | \(x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots\) | \((-\infty,\infty)\) |
| \(\cos x\) | \(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots\) | \((-\infty,\infty)\) |
| \(\dfrac{1}{1-x}\) | \(1+x+x^2+x^3+\cdots\) | \((-1,1)\) |
其他函數的級數，可由這四個代換（例如 \(x\to -x^2\)）、相乘、逐項微分或積分得到。逐項微分或積分不改變收斂半徑，但端點可能改變。
常見錯誤
- 第 \(n\) 項 \(\to 0\) 就說收斂：調和級數 \(\sum\frac1n\) 的項趨近 0，但發散。
- 收斂區間忘記檢查端點。
- 比值檢定得到 1 還下結論：極限為 1 時檢定無法判斷，要換其他方法。
- 泰勒係數忘了除以 \(k!\)。
推薦影音
3Blue1Brown：泰勒級數
簡述：用動畫說明泰勒多項式如何一項一項「貼合」原函數，以及係數 \(\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\) 從哪裡來，是理解泰勒級數最好的入門影片。
Dr. Trefor Bazett：如何選擇收斂檢定
簡述：用 8 個級數示範「看到什麼形式就用哪個檢定」的判斷流程，對應本頁「收斂檢定怎麼選？」的表格。
The Algebros：Lagrange 誤差界（官方 10.12）
簡述：對應官方 10.12 小節，說明誤差界公式中 \(M\) 的意義與找法，並示範 FRQ 常見的寫法。
ProjectExplained：Unit 10 完整複習
簡述：約 30 分鐘整理 Unit 10 全部主題，從收斂檢定到冪級數，適合考前總複習。
練習題
練習 1：幾何級數
求 \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 3\left(\frac25\right)^n\)。
看解答
首項 \(3\)、公比 \(\dfrac25\)，\(\lvert r\rvert<1\)，和為 \(\dfrac{3}{1-\frac25}=5\)。
練習 2：判斷收斂或發散
判斷下列級數：(a) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2n+1}\) (b) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1}\) (c) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{3^n}\)
看解答
(a) \(\lim\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12\ne 0\)，第 \(n\) 項檢定：發散。
(b) \(0<\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}\)，而 \(\sum\frac1{n^2}\) 是 \(p=2\) 的收斂 \(p\) 級數，直接比較：收斂。
(c) 比值檢定：\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+1}{3n}\to\dfrac13<1\)，收斂。
練習 3：絕對收斂或條件收斂
\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt n}\) 是絕對收斂、條件收斂還是發散？
看解答
\(\dfrac{1}{\sqrt n}\) 遞減且 \(\to 0\)，交錯級數檢定：收斂。但 \(\sum\dfrac{1}{\sqrt n}\) 是 \(p=\frac12\) 的發散 \(p\) 級數，所以是條件收斂。
練習 4：收斂區間
求 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(x-2)^n}{n\cdot 3^n}\) 的收斂區間。
看解答
比值檢定：\(\left\lvert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert=\dfrac{n}{n+1}\cdot\dfrac{\lvert x-2\rvert}{3}\to\dfrac{\lvert x-2\rvert}{3}<1\)，得 \(-1<x<5\)，半徑 \(R=3\)。
\(x=5\)：\(\sum\dfrac1n\) 發散。\(x=-1\)：\(\sum\dfrac{(-1)^n}{n}\) 交錯級數收斂。收斂區間 \([-1,5)\)。
練習 5：泰勒多項式
求 \(f(x)=\ln x\) 在 \(x=1\) 的三次泰勒多項式。
看解答
\(f(1)=0\)，\(f'(1)=1\)，\(f''(1)=-1\)，\(f'''(1)=2\)。
\(P_3(x)=(x-1)-\dfrac{(x-1)^2}{2}+\dfrac{2}{3!}(x-1)^3=(x-1)-\dfrac{(x-1)^2}{2}+\dfrac{(x-1)^3}{3}\)。
練習 6：由已知級數推導
寫出 \(e^{-x^2}\) 與 \(\arctan x\) 的 Maclaurin 級數前四個非零項。
看解答
\(e^u\) 代 \(u=-x^2\)：\(1-x^2+\dfrac{x^4}{2}-\dfrac{x^6}{6}+\cdots\)
\(\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots\)，逐項積分（\(\arctan 0=0\)）：\(\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\cdots\)
練習 7：交錯級數誤差界
用 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\) 的前三項估計總和，誤差最多是多少？
看解答
\(S_3=1-\dfrac14+\dfrac19=\dfrac{31}{36}\approx 0.861\)。誤差 \(\le\) 第四項的絕對值 \(\dfrac{1}{16}=0.0625\)。
練習 8：Lagrange 誤差界
用 \(P_3(x)=x-\dfrac{x^3}{6}\) 估計 \(\sin(0.2)\)，並用 Lagrange 誤差界估計誤差上限。
看解答
\(P_3(0.2)=0.2-\dfrac{0.008}{6}\approx 0.198667\)。
\(f^{(4)}(x)=\sin x\)，\(\lvert f^{(4)}\rvert\le 1\)，取 \(M=1\)：誤差 \(\le\dfrac{1}{4!}(0.2)^4=\dfrac{0.0016}{24}\approx 6.67\times 10^{-5}\)。