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AB 必考 BC 也考

建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

Unit 2 微分：定義與基本法則

導數（derivative）是函數在某一點的瞬間變化率，幾何上就是切線的斜率。Unit 2 從「平均變化率的極限」定義導數，再推導冪次法則、乘法法則、除法法則與基本超越函數的導數，讓你不必每次都回到極限定義。本單元約佔 AB 考試 10–12%、BC 考試 4–7%。

從平均變化率到瞬間變化率

平均變化率是割線斜率：\(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。讓兩點越來越靠近，割線就變成切線，平均變化率的極限就是瞬間變化率：

\[ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \]

AP 考試常把導數定義「藏」在極限題裡：看到 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\pi+h)-\cos\pi}{h}\)，要認出它就是 \(f(x)=\cos x\) 在 \(x=\pi\) 的導數，答案是 \(-\sin\pi=0\)。

導數的記號

\(f'(x)\)、\(y'\)、\(\dfrac{dy}{dx}\)、\(\dfrac{d}{dx}f(x)\) 都代表同一件事。在 \(x=a\) 的導數也寫成 \(\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=a}\)。

用表格估計導數

只有表格資料時，用包住該點的兩個最近資料點求平均變化率來估計。例如 \(f(2)=14\)、\(f(5)=23\)，則 \(f'(3.5)\approx\dfrac{23-14}{5-2}=3\)。

可微與連續的關係

可微一定連續；連續不一定可微。 函數在以下四種位置不可微：

  1. 尖角（corner）：左右導數不相等，例如 \(\lvert x\rvert\) 在 \(x=0\)。
  2. 尖點（cusp）：左右切線斜率趨近 \(+\infty\) 與 \(-\infty\)，例如 \(x^{2/3}\) 在 \(x=0\)。
  3. 垂直切線：斜率趨近 \(\pm\infty\)，例如 \(\sqrt[3]{x}\) 在 \(x=0\)。
  4. 不連續點：洞、跳躍或漸近線。

基本微分法則

法則 公式
常數 \(\dfrac{d}{dx}c=0\)
冪次法則 \(\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\)（\(n\) 為任意實數）
常數倍、加減 \((cf)'=cf'\)，\((f\pm g)'=f'\pm g'\)
乘法法則 \((fg)'=f'g+fg'\)
除法法則 \(\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\)

除法法則口訣：「下乘上微，減上乘下微，除以下平方」。

三角、指數與對數函數

\[ \frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\quad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,\quad \frac{d}{dx}e^x=e^x,\quad \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x \]

由除法法則可以推出：

\[ \frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x,\quad \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x,\quad \frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x,\quad \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x \]

例題：切線方程式

求 \(f(x)=x^3-2x\) 在 \(x=1\) 的切線。

\(f(1)=-1\)，\(f'(x)=3x^2-2\)，\(f'(1)=1\)。點斜式：\(y-(-1)=1\cdot(x-1)\)，即 \(y=x-2\)。

常見錯誤

  • 乘法法則寫成 \((fg)'=f'g'\)：兩個函數相乘的導數不是導數相乘。
  • 根號、分數不先改寫成指數：\(\sqrt x=x^{1/2}\)、\(\dfrac{2}{x^3}=2x^{-3}\)，改寫後才能用冪次法則。
  • 切線方程式忘了代入點的 \(y\) 值：切線需要「點」和「斜率」兩項資訊。

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練習題

練習 1：用定義求導數

用極限定義求 \(f(x)=x^2+3x\) 的導數。

看解答

$$ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)2+3(x+h)-x2-3x}{h}=\frac{2xh+h^2+3h}{h}=2x+h+3 $$ 令 \(h\to 0\)，得 \(f'(x)=2x+3\)。

練習 2：認出導數定義

求 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^5-32}{h}\)。

看解答

這是 \(f(x)=x^5\) 在 \(x=2\) 的導數定義。\(f'(x)=5x^4\)，所以答案是 \(5\cdot 16=80\)。

練習 3：冪次法則

求 \(y=3x^4-\dfrac{2}{x}+\sqrt{x}\) 的導數。

看解答

改寫成 \(3x^4-2x^{-1}+x^{1/2}\)，得 \(y'=12x^3+2x^{-2}+\dfrac12x^{-1/2}=12x^3+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{2\sqrt x}\)。

練習 4：乘法法則

求 \(y=x^2e^x\) 的導數。

看解答

\(y'=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=e^x(x^2+2x)\)。

練習 5：除法法則

求 \(y=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\) 的導數並化簡。

看解答
\[ y'=\frac{\cos x(1+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}=\frac{\cos x+\cos^2x+\sin^2x}{(1+\cos x)^2}=\frac{1+\cos x}{(1+\cos x)^2}=\frac{1}{1+\cos x} \]

練習 6：表格估計

\(t\)（分鐘） 0 4 10 12
\(W(t)\)（°F） 55 61 70 72

估計 \(W'(7)\)，並說明其意義與單位。

看解答

\(W'(7)\approx\dfrac{W(10)-W(4)}{10-4}=\dfrac{70-61}{6}=1.5\) °F／分鐘。意義：在 \(t=7\) 分鐘時，溫度大約以每分鐘 1.5 °F 的速率上升。

練習 7：可微性

\(f(x)=\begin{cases}x^2, & x\le 1\\ 2x-1, & x>1\end{cases}\) 在 \(x=1\) 是否可微？

看解答

連續：左極限 \(1\)、右極限 \(2-1=1\)、\(f(1)=1\)，三者相等。左右導數：左側 \(2x\big|_{x=1}=2\)，右側 \(2\)，相等。所以 \(f\) 在 \(x=1\) 可微，\(f'(1)=2\)。