AB 必考 BC 也考
Unit 8 積分的應用
Unit 8 用定積分計算各種「累積量」：函數的平均值、質點的位移與總移動距離、情境中的淨變化量、兩曲線之間的面積，以及已知截面立體與旋轉體的體積。核心想法只有一個——切成小片、算每片的量、再積分加總。約佔 AB 考試 10–15%、BC 考試 6–9%。
BC 限定小節在另一頁
曲線弧長（官方 8.13）只有 BC 考，整理在 Unit 8 BC：曲線弧長。
函數的平均值
\(f\) 在 \([a,b]\) 上的平均值：
注意區分「函數的平均值」（用積分）與「平均變化率」（用 \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)）。
位移、總距離與淨變化量
| 要求的量 | 算式 |
|---|---|
| 位移（displacement） | \(\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt\) |
| 總移動距離（total distance） | \(\displaystyle\int_a^b \lvert v(t)\rvert\,dt\) |
| \(t=b\) 時的位置 | \(x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt\) |
| 情境中的量 | 初始量 \(+\displaystyle\int(\text{流入率}-\text{流出率})\,dt\) |
情境題求「何時最多／最少」：令淨變化率 \(=0\) 找候選時間，再加上端點一起比較（候選點檢驗法）。
兩曲線之間的面積
- 對 \(x\) 積分（垂直切片）：\(A=\displaystyle\int_a^b\big(\text{上曲線}-\text{下曲線}\big)\,dx\)
- 對 \(y\) 積分（水平切片）：\(A=\displaystyle\int_c^d\big(\text{右曲線}-\text{左曲線}\big)\,dy\)
上下限通常是兩曲線的交點。曲線交叉時，要分段讓每一段都是「大減小」。
已知截面的立體體積
底面是平面區域，垂直於 \(x\) 軸的每個截面都是某種形狀，面積為 \(A(x)\)，則 \(V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx\)。設截面的邊長（或直徑）為 \(s=\) 上曲線 \(-\) 下曲線：
| 截面形狀 | 截面面積 \(A\) |
|---|---|
| 正方形 | \(s^2\) |
| 半圓（\(s\) 為直徑） | \(\dfrac{\pi}{8}s^2\) |
| 正三角形 | \(\dfrac{\sqrt3}{4}s^2\) |
| 等腰直角三角形（\(s\) 為一股） | \(\dfrac12s^2\) |
旋轉體體積：圓盤法與墊圈法
區域繞一條軸旋轉，垂直於旋轉軸切片，每片是圓盤或墊圈：
- 圓盤法（區域貼著旋轉軸）：\(V=\pi\displaystyle\int_a^b[R(x)]^2\,dx\)
- 墊圈法（區域與旋轉軸之間有空隙）：\(V=\pi\displaystyle\int_a^b\big([R(x)]^2-[r(x)]^2\big)\,dx\)
\(R\) 是外半徑、\(r\) 是內半徑，都是「到旋轉軸的距離」。繞 \(y=k\) 旋轉時，半徑是 \(\lvert f(x)-k\rvert\)；繞 \(y\) 軸或 \(x=h\) 旋轉時，要改成對 \(y\) 積分。
常見陷阱
墊圈法是 \(R^2-r^2\)，不是 \((R-r)^2\)。
常見錯誤
- 總距離直接積 \(v(t)\)：\(v\) 會變號時，必須分段取絕對值。
- 繞 \(y=-1\) 等非座標軸旋轉時，半徑忘了加減平移量。
- 截面題乘上 \(\pi\)：只有旋轉體才自動有 \(\pi\)，截面題的面積公式依形狀而定。
推薦影音
Calculus by Christee：Unit 8 完整複習
簡述：整理 Unit 8 全部 AB 題型，包含平均值、位移與距離、面積、截面體積與旋轉體，附 AP 風格例題。
The Organic Chemistry Tutor：圓盤法與墊圈法
簡述：示範繞 \(x\) 軸、\(y\) 軸與其他水平、垂直線的旋轉體體積，特別適合練習「半徑怎麼找」。
練習題
練習 1：平均值
求 \(f(x)=x^2\) 在 \([0,3]\) 上的平均值。
看解答
\(\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3x^2\,dx=\frac13\cdot 9=3\)。
練習 2：位移與總距離
\(v(t)=t^2-4t+3\)，\(0\le t\le 3\)。求位移與總移動距離。
看解答
位移：\(\displaystyle\int_0^3(t^2-4t+3)\,dt=\left[\frac{t^3}{3}-2t^2+3t\right]_0^3=9-18+9=0\)。
\(v=(t-1)(t-3)\)，在 \([0,1]\) 為正、\([1,3]\) 為負。\(\displaystyle\int_0^1v\,dt=\frac43\)，\(\displaystyle\int_1^3v\,dt=-\frac43\)。總距離 \(=\dfrac43+\dfrac43=\dfrac83\)。
練習 3：情境累積（FRQ 風格）
水槽在 \(t=0\) 時有 50 加侖水，水以 \(10+2t\) 加侖／分鐘流入、\(4t\) 加侖／分鐘流出，\(0\le t\le 10\)。何時水量最多？最多是多少？
看解答
淨變化率 \((10+2t)-4t=10-2t\)，在 \(t=5\) 由正變負。候選點：
\(W(0)=50\)；\(W(5)=50+\displaystyle\int_0^5(10-2t)\,dt=50+25=75\)；\(W(10)=50+\displaystyle\int_0^{10}(10-2t)\,dt=50+0=50\)。
\(t=5\) 分鐘時最多，為 75 加侖。
練習 4：兩曲線面積（對 \(y\) 積分）
求 \(x=y^2\) 與 \(x=y+2\) 所圍區域的面積。
看解答
交點：\(y^2=y+2\Rightarrow y=-1,\,2\)。右曲線是 \(x=y+2\)。
\(\displaystyle\int_{-1}^2(y+2-y^2)\,dy=\left[\frac{y^2}{2}+2y-\frac{y^3}{3}\right]_{-1}^2=\frac{10}{3}-\left(-\frac76\right)=\frac92\)。
練習 5：圓盤法
\(y=\sqrt x\)、\(x=4\) 與 \(x\) 軸所圍區域，繞 \(x\) 軸旋轉，求體積。
看解答
\(V=\pi\displaystyle\int_0^4(\sqrt x)^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi\)。
練習 6：墊圈法（繞 \(y=-1\)）
\(y=x\) 與 \(y=x^2\) 所圍區域，繞直線 \(y=-1\) 旋轉，求體積。
看解答
\(0\le x\le 1\) 時 \(x\ge x^2\)。外半徑 \(R=x-(-1)=x+1\)，內半徑 \(r=x^2+1\)。
\(V=\pi\displaystyle\int_0^1\big[(x+1)^2-(x^2+1)^2\big]dx=\pi\int_0^1(2x-x^2-x^4)\,dx=\pi\left(1-\frac13-\frac15\right)=\frac{7\pi}{15}\)。
練習 7：已知截面
底面是 \(y=\sqrt x\)、\(x=4\) 與 \(x\) 軸所圍區域，垂直於 \(x\) 軸的截面都是正方形，求體積。
看解答
邊長 \(s=\sqrt x\)，\(A(x)=x\)。\(V=\displaystyle\int_0^4x\,dx=8\)。