AB 必考 BC 也考
Unit 4 微分的情境應用
Unit 4 把導數放進真實情境：解讀導數的意義與單位、分析直線運動的速度與加速度、解相關變率（related rates）問題、用切線做線性近似，以及用 L'Hôpital 法則求不定型極限。這些題型是 FRQ 的常客。約佔 AB 考試 10–15%、BC 考試 6–9%。
導數在情境中代表什麼？
若 \(V(t)\) 是水槽內的水量（加侖），\(t\) 是時間（小時），則 \(V'(t)\) 的單位是「加侖／小時」。解讀導數的完整句子要包含時間點、數值、單位、增減方向：
\(V'(3)=-2.5\) 表示：在 \(t=3\) 小時時，水槽的水量以每小時 2.5 加侖的速率減少。
直線運動：位置、速度、加速度
| 量 | 記號 | 關係 |
|---|---|---|
| 位置 | \(x(t)\) | — |
| 速度（velocity） | \(v(t)\) | \(v=x'(t)\) |
| 加速度（acceleration） | \(a(t)\) | \(a=v'(t)=x''(t)\) |
| 速率（speed） | \(\lvert v(t)\rvert\) | 速度的絕對值 |
判斷重點：
- \(v>0\) 往右（或往上）移動；\(v<0\) 往左；\(v=0\) 瞬間靜止。
- \(v\) 改變正負號時，質點改變方向。
- 速率增加 \(\iff\) \(v\) 與 \(a\) 同號；速率減少 \(\iff\) \(v\) 與 \(a\) 異號。
相關變率怎麼解？
相關變率問題：兩個以上的量都隨時間變化，且彼此有方程式關係，已知其中一個的變化率，求另一個的變化率。
- 畫圖並標上變數，變化中的量不要先代入數字。
- 寫出變數之間的方程式（畢氏定理、體積、相似三角形等）。
- 兩邊對 \(t\) 微分（隱函數微分）。
- 最後才代入該瞬間的數值，解出所求變化率。
例題：滑落的梯子
10 英尺的梯子靠牆，底部以 1 ft/s 遠離牆。底部離牆 6 ft 時，頂端下滑多快？
\(x^2+y^2=100\)，對 \(t\) 微分：\(2x\dfrac{dx}{dt}+2y\dfrac{dy}{dt}=0\)。
\(x=6\) 時 \(y=8\)，代入：\(2(6)(1)+2(8)\dfrac{dy}{dt}=0\)，\(\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac34\)。頂端以 \(\dfrac34\) ft/s 下滑。
線性近似
在 \(x=a\) 附近，函數可用切線近似：
高估或低估？ 看凹凸性：\(f''>0\)（凹向上）時切線在曲線下方，近似值低估；\(f''<0\)（凹向下）時高估。
L'Hôpital 法則
若 \(\displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}\) 代入後是 \(\dfrac00\) 或 \(\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}\)，則
注意是分子分母分別微分，不是除法法則。FRQ 使用時，要寫出「分子與分母的極限都是 0」來說明條件成立。
常見錯誤
- 相關變率太早代入數字，導致微分後變化率消失。
- 把「速度」和「速率」混為一談：速率增減要同時看 \(v\) 與 \(a\) 的正負號。
- 不是不定型也使用 L'Hôpital 法則，例如 \(\lim_{x\to 0}\frac{x+1}{x+2}=\frac12\) 直接代入即可。
推薦影音
Krista King：Unit 4 完整複習
簡述：依官方 Unit 4 順序講解導數的情境解讀、直線運動、相關變率、線性近似與 L'Hôpital 法則，附大量 FRQ 風格例題。
The Organic Chemistry Tutor：相關變率入門
簡述：用圓、球、梯子等經典題型示範相關變率的四個步驟，對應本頁「相關變率怎麼解？」。
The Organic Chemistry Tutor：L'Hôpital 法則
簡述：示範 \(\frac00\)、\(\frac\infty\infty\) 不定型的多種例題，包含需要連續使用兩次法則的情況。
練習題
練習 1：直線運動
質點位置 \(x(t)=t^3-6t^2+9t\)，\(t\ge 0\)。(a) 何時靜止？(b) 何時往左移動？(c) \(t=\frac12\) 時速率在增加還是減少？
看解答
\(v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)\)，\(a(t)=6t-12\)。
(a) \(v=0\)：\(t=1\)、\(t=3\)。
(b) \(v<0\)：\(1<t<3\)。
(c) \(v(\frac12)=3(-\frac12)(-\frac52)=3.75>0\)，\(a(\frac12)=-9<0\)，異號，所以速率在減少。
練習 2：相關變率（球體）
氣球半徑以 2 cm/s 增加，半徑 5 cm 時體積增加多快？
看解答
\(V=\dfrac43\pi r^3\)，\(\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}=4\pi(25)(2)=200\pi\) cm³/s。
練習 3：相關變率（圓錐水槽）
倒圓錐水槽高 12 ft、頂部半徑 4 ft，水以 \(9\pi\) ft³/min 注入。水深 6 ft 時，水面上升多快？
看解答
相似三角形：\(\dfrac rh=\dfrac{4}{12}\)，\(r=\dfrac h3\)。\(V=\dfrac13\pi r^2h=\dfrac{\pi}{27}h^3\)。
\(\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{\pi}{9}h^2\dfrac{dh}{dt}\)，代入 \(9\pi=\dfrac{\pi}{9}(36)\dfrac{dh}{dt}\)，得 \(\dfrac{dh}{dt}=\dfrac94\) ft/min。
練習 4：線性近似
用線性近似估計 \(\sqrt{16.2}\)，並判斷是高估還是低估。
看解答
\(f(x)=\sqrt x\)，\(a=16\)：\(f(16)=4\)，\(f'(16)=\dfrac{1}{2\sqrt{16}}=\dfrac18\)。\(L(16.2)=4+\dfrac18(0.2)=4.025\)。
\(f''(x)=-\dfrac14x^{-3/2}<0\)，凹向下，切線在曲線上方，所以是高估。
練習 5：L'Hôpital 法則
求 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\)。
看解答
\(\frac00\) 型，用一次：\(\lim\dfrac{e^x-1}{2x}\)，仍是 \(\frac00\)，再用一次：\(\lim\dfrac{e^x}{2}=\dfrac12\)。
練習 6：\(\frac{\infty}{\infty}\) 型
求 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}\)。
看解答
\(\frac\infty\infty\) 型：\(\lim\dfrac{1/x}{1/(2\sqrt x)}=\lim\dfrac{2\sqrt x}{x}=\lim\dfrac{2}{\sqrt x}=0\)。
練習 7：解讀導數
\(P(t)\) 是某城市人口（千人），\(t\) 是 2020 年後的年數。說明 \(P'(4)=1.8\) 的意義。
看解答
在 2024 年（\(t=4\)）時，該城市人口以每年約 1.8 千人（1800 人）的速率增加。