BC 限定：只有 AP Calculus BC 會考
Unit 9 參數式、極座標與向量函數
Unit 9 把微積分推廣到不是 \(y=f(x)\) 形式的曲線：參數式（parametric equations）用第三個變數 \(t\) 同時描述 \(x\) 和 \(y\)；向量函數（vector-valued functions）用參數式描述平面上質點的運動；極座標（polar coordinates）用距離 \(r\) 與角度 \(\theta\) 描述曲線。本單元只有 BC 考，約佔 BC 考試 11–12%，FRQ 幾乎每年都有一題。
參數式的微分
曲線 \(x=x(t)\)、\(y=y(t)\) 的斜率：
- 水平切線：\(\dfrac{dy}{dt}=0\) 且 \(\dfrac{dx}{dt}\ne 0\)。
- 垂直切線：\(\dfrac{dx}{dt}=0\) 且 \(\dfrac{dy}{dt}\ne 0\)。
二階導數最容易出錯，要把 \(\dfrac{dy}{dx}\) 對 \(t\) 微分後，再除以 \(\dfrac{dx}{dt}\)：
參數式弧長
向量函數與平面運動
質點位置寫成向量 \(\vec r(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle\)：
| 量 | 算式 |
|---|---|
| 速度向量 | \(\vec v(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle\) |
| 加速度向量 | \(\vec a(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle\) |
| 速率（speed） | \(\lVert\vec v(t)\rVert=\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\) |
| 總移動距離 | \(\displaystyle\int_a^b\lVert\vec v(t)\rVert\,dt\) |
| 由速度求位置 | \(x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt\)，\(y\) 分量同理 |
向量的積分與微分都是每個分量分別做。
極座標
極座標點 \((r,\theta)\) 與直角座標的關係：\(x=r\cos\theta\)、\(y=r\sin\theta\)、\(r^2=x^2+y^2\)。
極座標曲線的斜率
把 \(\theta\) 當參數，\(x=r(\theta)\cos\theta\)、\(y=r(\theta)\sin\theta\)：
\(\dfrac{dr}{d\theta}\) 的意義：若 \(r>0\) 且 \(\dfrac{dr}{d\theta}<0\)，曲線上的點正在靠近原點；\(r>0\) 且 \(\dfrac{dr}{d\theta}>0\) 則正在遠離原點。
極座標面積
極座標區域用扇形切片（不是矩形）：
兩條極座標曲線之間的面積：\(A=\dfrac12\displaystyle\int_\alpha^\beta\left(r_{\text{外}}^2-r_{\text{內}}^2\right)d\theta\)。上下限通常是兩曲線交點的 \(\theta\) 值。
常見錯誤
- 參數式二階導數直接對 \(\dfrac{dy}{dx}\) 用 \(t\) 微分，忘了除以 \(\dfrac{dx}{dt}\)。
- 極座標面積漏掉 \(\dfrac12\)，或寫成 \(\dfrac12\int(r_1-r_2)^2\,d\theta\)（應為 \(r_1^2-r_2^2\)）。
- 速率寫成 \(x'(t)+y'(t)\)：速率是速度向量的長度。
推薦影音
Meek Extra Help：Unit 9 完整複習
簡述：約 40 分鐘涵蓋參數式微分、二階導數、弧長、向量運動與極座標面積，依官方 Unit 9 順序整理，適合總複習。
The Organic Chemistry Tutor：參數式的導數
簡述：示範參數式的一階、二階導數，以及水平與垂直切線的求法，對應本頁「參數式的微分」。
The Organic Chemistry Tutor：極座標面積
簡述：說明極座標面積公式的由來，並示範玫瑰線、心臟線等常見曲線的面積計算與上下限選擇。
練習題
練習 1：參數式斜率與切線
\(x=t^2\)、\(y=t^3-3t\)。(a) 求 \(t=2\) 時的 \(\dfrac{dy}{dx}\)。(b) 何時有水平切線？垂直切線？
看解答
\(\dfrac{dx}{dt}=2t\)，\(\dfrac{dy}{dt}=3t^2-3\)。
(a) \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-3}{2t}\)，\(t=2\) 時為 \(\dfrac{9}{4}\)。
(b) 水平：\(3t^2-3=0\) 且 \(2t\ne 0\)，\(t=\pm 1\)。垂直：\(2t=0\) 且 \(3t^2-3=-3\ne 0\)，\(t=0\)。
練習 2：參數式二階導數
承練習 1，求 \(t=2\) 時的 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)。
看解答
\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac32t-\dfrac32t^{-1}\)，\(\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac32+\dfrac32t^{-2}\)。
\(\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac32+\frac{3}{2t^2}}{2t}=\dfrac{3(t^2+1)}{4t^3}\)，\(t=2\) 時為 \(\dfrac{15}{32}\)。
練習 3：參數式弧長
求 \(x=t^2\)、\(y=\dfrac23t^3\)，\(0\le t\le 1\) 的弧長。
看解答
\(\sqrt{(2t)^2+(2t^2)^2}=2t\sqrt{1+t^2}\)。
\(\displaystyle\int_0^1 2t\sqrt{1+t^2}\,dt=\frac23(1+t^2)^{3/2}\Big|_0^1=\frac23\left(2\sqrt2-1\right)\)。
練習 4：向量運動
質點速度 \(\vec v(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle\)，\(\vec r(0)=\langle 1,\ 2\rangle\)。求 \(t=\pi\) 時的位置與速率。
看解答
\(x(\pi)=1+\displaystyle\int_0^\pi 2t\,dt=1+\pi^2\)；\(y(\pi)=2+\displaystyle\int_0^\pi\cos t\,dt=2+0=2\)。位置 \(\langle 1+\pi^2,\ 2\rangle\)。
速率 \(\lVert\vec v(\pi)\rVert=\sqrt{(2\pi)^2+(\cos\pi)^2}=\sqrt{4\pi^2+1}\)。
練習 5：極座標面積（玫瑰線）
求 \(r=\sin 2\theta\) 一片花瓣的面積。
看解答
一片花瓣對應 \(0\le\theta\le\dfrac\pi2\)。
\(A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2 2\theta\,d\theta=\frac12\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos 4\theta}{2}\,d\theta=\frac12\cdot\frac\pi4=\frac\pi8\)。
練習 6：心臟線面積
求心臟線 \(r=1+\cos\theta\) 所圍的面積。
看解答
\(A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)\,d\theta=\frac12\left(2\pi+0+\pi\right)=\frac{3\pi}{2}\)。
練習 7：極座標斜率
求 \(r=1+\cos\theta\) 在 \(\theta=\dfrac\pi2\) 的切線斜率。
看解答
\(r'=-\sin\theta\)。\(\theta=\dfrac\pi2\) 時 \(r=1\)、\(r'=-1\)。
\(\dfrac{dy}{d\theta}=r'\sin\theta+r\cos\theta=-1\)，\(\dfrac{dx}{d\theta}=r'\cos\theta-r\sin\theta=-1\)。斜率 \(\dfrac{-1}{-1}=1\)。