Black-Scholes 模型
Black–Scholes 模型是一個用來計算歐式期權（European Option）理論價格的數學模型，由 Fischer Black、Myron Scholes（以及 Robert Merton 後續推廣）在 1973 年提出。
1. 模型的核心概念
Black–Scholes 假設標的資產（例如股票）價格服從幾何布朗運動，即價格隨時間呈現連續隨機變動。 在這個假設下，可以推導出一個封閉解公式，來計算在到期日一次性結算的歐式期權價格。
2. 基本公式（歐式買權 Call Option）
\[
C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)
\]
其中：
- \(C\) = 買權理論價格
- \(S_0\) = 當前標的資產價格
- \(K\) = 履約價格（Strike Price）
- \(r\) = 無風險利率（年化）
- \(T\) = 距離到期的時間（以年為單位）
- \(N(\cdot)\) = 標準常態累積分布函數
-
\[ d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} \]
- \(\sigma\) = 標的資產年化波動率（Volatility）
3. 模型假設
- 無交易成本、無稅收、可無限分割資產
- 可無限制借貸，且利率固定
- 資產價格連續變動，且報酬率服從常態分布
- 無套利機會
- 僅適用歐式期權（到期日才能行使）
4. 實務應用
- 期權定價：金融機構用它來快速計算歐式期權的理論價值
- 風險管理：衍生出 Delta、Gamma、Vega、Theta 等希臘字母（Greeks）用於部位風險監控
- 波動率推算：反推市場期權價格對應的隱含波動率（Implied Volatility）