期初年金與期末年金
1️⃣ 定義與差別
| 類型 | 英文 | 支付時點 | 特性 |
|---|---|---|---|
| 期末年金 | Ordinary Annuity | 每期 期末 支付 | 常見於房貸、債券付息等 |
| 期初年金 | Annuity Due | 每期 期初 支付 | 常見於租金、保險費等 |
💡 期初年金比期末年金多了一期的利息累積時間，所以現值和終值都會比較大。
2️⃣ 計算公式
假設：
- C：每期金額
- r：每期利率
- n：期數
期末年金 (普通年金)
- 終值公式 (FV)：
\[
FV_{\text{ordinary}} = C \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}
\]
- 現值公式 (PV)：
\[
PV_{\text{ordinary}} = C \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}
\]
期初年金 (期初年金)
因為每期提前支付，所以等於期末年金多乘一個 (1+r)：
- 終值公式 (FV)：
\[
FV_{\text{due}} = FV_{\text{ordinary}} \cdot (1+r)
\]
- 現值公式 (PV)：
\[
PV_{\text{due}} = PV_{\text{ordinary}} \cdot (1+r)
\]
3️⃣ 範例比較
假設：
- 每期支付 $1,000
- 年利率 5%
- 期數 3 期
(1) 期末年金
- 現值：
\[
PV_{\text{ordinary}} = 1000 \cdot \frac{1 - (1.05)^{-3}}{0.05} \approx 2723.25
\]
- 終值：
\[
FV_{\text{ordinary}} = 1000 \cdot \frac{(1.05)^3 - 1}{0.05} \approx 3152.50
\]
(2) 期初年金
- 現值：
\[
PV_{\text{due}} = 2723.25 \cdot (1.05) \approx 2859.41
\]
- 終值：
\[
FV_{\text{due}} = 3152.50 \cdot (1.05) \approx 3309.13
\]
4️⃣ 直觀理解
- 期初年金每筆錢比期末年金早投入一個期間，所以能多賺一次利息。
- 因此，相同條件下，期初年金的 PV 與 FV 都會比期末年金大。