實驗與數學工具
實驗與數學工具（Tools）是 IB Physics 貫穿所有主題的基本技能，包括 SI 單位、科學記號、有效位數、不確定度（uncertainty）、誤差棒與圖表分析。這些技能 SL 與 HL 都要會，Paper 1B 資料分析題與內部評量（IA）幾乎每題都會用到，也是最容易「懂觀念卻被扣分」的地方。
SI 單位與科學記號
國際單位制（International System of Units, SI）有 7 個基本單位，物理常用的是：公尺 m、公斤 kg、秒 s、安培 A、克耳文 K、莫耳 mol。其他單位都可以由基本單位組合而成，例如力的單位牛頓：
IB 習慣用負指數寫單位（例如 m s⁻¹，而不是 m/s）。常用的字首要熟記：
| 字首 | 符號 | 倍數 | 字首 | 符號 | 倍數 |
|---|---|---|---|---|---|
| tera | T | \(10^{12}\) | milli | m | \(10^{-3}\) |
| giga | G | \(10^{9}\) | micro | μ | \(10^{-6}\) |
| mega | M | \(10^{6}\) | nano | n | \(10^{-9}\) |
| kilo | k | \(10^{3}\) | pico | p | \(10^{-12}\) |
SL + HL 核心：單位檢查（dimensional analysis）
等號兩邊的單位必須相同。不確定公式是否寫對時，把每個量換成基本單位檢查一次，常常能抓出漏掉的平方或倒數。
有效位數與數量級
有效位數（significant figures）：最後答案的有效位數，應與題目中「最不精確」的數據相同，通常是 2～3 位。中間計算保留多一位，最後再四捨五入。
數量級（order of magnitude）：把數值寫成最接近的 10 的次方，例如人的身高約 \(10^0\) m、原子大小約 \(10^{-10}\) m、原子核約 \(10^{-15}\) m。估算題（estimate）只要求合理的數量級，不需要精確數值。
誤差與不確定度
系統誤差和隨機誤差差在哪？
- 隨機誤差（random error）：每次測量隨機偏高或偏低，例如反應時間。重複測量取平均 可以降低它的影響。
- 系統誤差（systematic error）：每次測量都往同一方向偏，例如儀器零點沒歸零（zero error）。重複測量無法消除，必須改進方法或校正儀器。在圖上，系統誤差常表現為直線 不通過原點。
不確定度怎麼計算與傳遞？
一個測量值寫成 \(x \pm \Delta x\)，其中 \(\Delta x\) 是 絕對不確定度（absolute uncertainty）；\(\dfrac{\Delta x}{x}\) 是 分數不確定度（fractional uncertainty），乘以 100% 就是百分比不確定度。
SL + HL 核心：不確定度傳遞規則（data booklet 有給）
- 加減：絕對不確定度相加。若 \(y = a \pm b\)，則 \(\Delta y = \Delta a + \Delta b\)。
- 乘除：分數不確定度相加。若 \(y = \dfrac{ab}{c}\)，則 \(\dfrac{\Delta y}{y} = \dfrac{\Delta a}{a} + \dfrac{\Delta b}{b} + \dfrac{\Delta c}{c}\)。
- 次方：分數不確定度乘以次方的絕對值。若 \(y = a^n\)，則 \(\dfrac{\Delta y}{y} = \left| n \dfrac{\Delta a}{a} \right|\)。
例題：測得單擺擺長 \(L = 0.800 \pm 0.005\) m，週期 \(T = 1.80 \pm 0.02\) s，用 \(g = \dfrac{4\pi^2 L}{T^2}\) 計算 \(g\) 的不確定度。
\(g = 9.75\ \text{m s}^{-2}\)，所以 \(\Delta g \approx 0.28\)，結果寫成 \(g = 9.7 \pm 0.3\ \text{m s}^{-2}\)。注意不確定度通常只留 1 位有效數字，數值的小數位數要配合它。
圖表分析
為什麼要把數據畫成直線？
直線最容易判斷「是否符合理論」，斜率與截距也能直接對應物理量。做法是把理論公式整理成 \(y = mx + c\) 的形式。例如單擺 \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\)，兩邊平方得到
所以畫 \(T^2\)（縱軸）對 \(L\)（橫軸），斜率 \(m = \dfrac{4\pi^2}{g}\)，可以求出 \(g\)。
誤差棒和最佳擬合線怎麼畫？
- 誤差棒（error bars）：每個數據點畫出 \(\pm\) 絕對不確定度的範圍。
- 最佳擬合線（line of best fit）：一條平滑的直線或曲線，讓數據點平均分布在兩側，並盡量通過所有誤差棒。不要「連連看」。
- 最大與最小斜率線（max and min gradient lines）：通過所有誤差棒、斜率最大與最小的兩條線。斜率的不確定度約為
HL 延伸：對數圖（log graph）
HL 數學會更常用到對數。若關係是冪次 \(y = kx^n\)，兩邊取對數得到 \(\ln y = n \ln x + \ln k\)，畫 \(\ln y\) 對 \(\ln x\) 的斜率就是次方 \(n\)。若關係是指數 \(y = y_0 e^{-\lambda x}\)（例如 放射性衰變），畫 \(\ln y\) 對 \(x\) 的斜率就是 \(-\lambda\)。SL 的 IA 也可以使用對數圖，只是 SL 考試較少要求。
練習題
先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。
練習 1：長方形面積的不確定度
量得一塊長方形板子的長 \(l = 4.0 \pm 0.1\) cm、寬 \(w = 2.0 \pm 0.1\) cm。求面積與它的絕對不確定度。
解答
\(A = 4.0 \times 2.0 = 8.0\ \text{cm}^2\)。乘法要把分數不確定度相加：
\(\Delta A = 0.075 \times 8.0 = 0.6\ \text{cm}^2\)，所以 \(A = 8.0 \pm 0.6\ \text{cm}^2\)。
練習 2：有平方的公式
質量 \(m = 2.00 \pm 0.02\) kg 的推車速率 \(v = 3.0 \pm 0.3\ \text{m s}^{-1}\)。求動能 \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\) 與它的不確定度。
解答
\(E_k = \frac{1}{2}(2.00)(3.0)^2 = 9.0\) J。速度有平方，所以它的分數不確定度要乘以 2：
\(\Delta E_k = 0.21 \times 9.0 \approx 1.9 \approx 2\) J，寫成 \(E_k = 9 \pm 2\) J。注意速度的不確定度主導了結果——要改進實驗，應該先把速度量得更準。
練習 3：從斜率求 g
單擺實驗畫出 \(T^2\)（縱軸）對 \(L\)（橫軸），最佳擬合線斜率 \(4.0\ \text{s}^2\ \text{m}^{-1}\)，最大與最小斜率分別為 4.2 與 3.8。求 \(g\) 與它的不確定度。
解答
由 \(T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}L\)，斜率 \(m = \dfrac{4\pi^2}{g}\)，所以 \(g = \dfrac{4\pi^2}{4.0} \approx 9.87\ \text{m s}^{-2}\)。
斜率的不確定度 \(\Delta m = \dfrac{4.2 - 3.8}{2} = 0.2\)，分數不確定度 \(\dfrac{0.2}{4.0} = 5\%\)。\(g\) 與 \(m\) 成反比，分數不確定度相同：\(\Delta g = 0.05 \times 9.87 \approx 0.5\)。
答案：\(g = 9.9 \pm 0.5\ \text{m s}^{-2}\)。
推薦影音
A1.1 物理基礎：單位、數量級與不確定度
簡述：Sirius Revision 依 2025 新大綱錄製，用約 11 分鐘講解 SI 單位、科學記號、有效位數與不確定度的基本觀念，是整個課程的第一課。
測量時怎麼決定不確定度？
簡述：Revision Village 說明儀器解析度、重複測量的分散程度如何決定不確定度，並示範常見題型，適合準備 Paper 1B 與 IA 的同學。
誤差棒與最大、最小斜率線
簡述：Louis Wong 一步步示範如何畫誤差棒、最佳擬合線，以及最大與最小斜率線，再從中求出斜率的不確定度，對 IA 的 Data analysis 特別有幫助。