E.2 量子物理（HL）
量子物理（Quantum physics）說明光和物質都同時具有波動性與粒子性：光電效應證明光由一份一份的光子組成，電子繞射則證明電子也具有波動性。E.2 是 HL 專屬子題，涵蓋光電效應與愛因斯坦方程式、德布羅意物質波、電子繞射與康普頓散射，需要先熟悉 E.1 原子結構 的光子能量 \(E = hf\)。
光電效應是什麼？
光電效應（photoelectric effect）：光照射在金屬表面時，金屬會放出電子（稱為光電子 photoelectron）。實驗觀察到的結果：
- 光的頻率必須高於某個 閾頻率（threshold frequency） \(f_0\) 才會放出電子；低於 \(f_0\) 時，光再強也沒有電子。
- 光電子的最大動能只與 頻率 有關，與光的強度無關。
- 光的 強度 只影響放出電子的 數量（光電流大小）。
- 只要頻率高於 \(f_0\)，電子幾乎 立即 放出，沒有時間延遲。
這些結果都無法用「光是連續的波」解釋：若光是波，強光即使頻率低，累積足夠能量後也應該能打出電子。
愛因斯坦怎麼解釋光電效應？
愛因斯坦提出光由 光子（photon） 組成，每個光子能量 \(E = hf\)，一個光子只能把能量交給一個電子：
功函數（work function） \(\Phi\) 是把電子從金屬表面移出所需的最小能量，\(\Phi = hf_0\)。
- \(E_{k,\max}\)–\(f\) 圖是一條直線，斜率是 \(h\)，橫軸截距是 \(f_0\)，縱軸截距是 \(-\Phi\)。
- 遏止電位（stopping potential） \(V_s\)：讓最快的光電子剛好停下所需的反向電壓，\(eV_s = E_{k,\max}\)。
例題：鈉的功函數 2.3 eV，用 400 nm 的紫光照射。光子能量 \(E = \dfrac{hc}{\lambda} = \dfrac{1240\ \text{eV nm}}{400\ \text{nm}} = 3.1\ \text{eV}\)，所以 \(E_{k,\max} = 3.1 - 2.3 = 0.8\ \text{eV}\)，遏止電位 0.8 V。
物質波：德布羅意波長
德布羅意（de Broglie）提出，既然光波有粒子性，粒子也應該有波動性。動量為 \(p\) 的粒子，波長：
日常物體的動量很大，波長小到無法觀察；但電子質量很小，波長可以與原子間距相近。
電子繞射（electron diffraction）：讓電子束通過石墨等晶體薄膜，屏幕上出現同心圓環的繞射圖樣，證明電子具有波動性。加速電壓越大，電子動量越大、波長越短，圓環越小。
例題：電子經 100 V 加速，\(E_k = 100\ \text{eV} = 1.6\times10^{-17}\ \text{J}\)，\(p = \sqrt{2mE_k} \approx 5.4\times10^{-24}\ \text{kg m s}^{-1}\)，\(\lambda = \dfrac{h}{p} \approx 1.2 \times 10^{-10}\ \text{m}\)，與原子間距相近，所以能被晶體繞射。
康普頓散射
康普頓散射（Compton scattering）：X 射線光子撞擊電子後，散射光子的波長變長。這個現象只能用「光子像粒子一樣與電子碰撞、轉移動量」來解釋，證明 光子具有動量 \(p = \dfrac{h}{\lambda}\)。
\(\theta\) 是光子的散射角。\(\theta = 180°\)（正面反彈）時波長變化最大。
波粒二象性
| 現象 | 支持的模型 |
|---|---|
| 干涉、繞射（光、電子） | 波動模型 |
| 光電效應、康普頓散射 | 粒子模型 |
波粒二象性（wave–particle duality）：光和物質都同時具有波動性與粒子性，在不同實驗中顯現不同面向。這是量子物理的核心觀念。
練習題
先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。
練習 1：閾頻率
某金屬的功函數 2.1 eV。求閾頻率與對應的最大波長。
解答
\(f_0 = \dfrac{\Phi}{h} = \dfrac{2.1 \times 1.60\times10^{-19}}{6.63\times10^{-34}} \approx 5.1\times10^{14}\ \text{Hz}\)
\(\lambda_0 = \dfrac{c}{f_0} \approx 590\ \text{nm}\)。波長比 590 nm 長的光（例如紅光）無論多強都打不出電子。
練習 2：遏止電位
250 nm 的紫外線照射功函數 4.3 eV 的鋅板。求光電子的最大動能與遏止電位。
解答
\(E = \dfrac{1240}{250} = 4.96\ \text{eV}\)，\(E_{k,\max} = 4.96 - 4.3 \approx 0.66\ \text{eV}\)，遏止電位 \(V_s \approx 0.66\ \text{V}\)。
練習 3：從圖求普朗克常數
光電效應實驗量得：頻率 \(6.0\times10^{14}\) Hz 時 \(E_{k,\max} = 0.40\) eV；頻率 \(8.0\times10^{14}\) Hz 時 \(E_{k,\max} = 1.23\) eV。求普朗克常數與功函數。
解答
斜率就是 \(h\)：
用 \(E_{k,\max} = hf - \Phi\)：\(\Phi = \dfrac{6.64\times10^{-34} \times 6.0\times10^{14}}{1.60\times10^{-19}} - 0.40 \approx 2.5 - 0.40 \approx 2.1\ \text{eV}\)。
練習 4：電子與棒球的德布羅意波長
求 (a) 速率 \(3.0\times10^6\ \text{m s}^{-1}\) 的電子、(b) 0.15 kg、速率 \(40\ \text{m s}^{-1}\) 的棒球的德布羅意波長。為什麼棒球看不到繞射？
解答
(a) \(\lambda = \dfrac{h}{mv} = \dfrac{6.63\times10^{-34}}{9.11\times10^{-31} \times 3.0\times10^6} \approx 2.4\times10^{-10}\ \text{m}\)，與原子間距相近，能被晶體繞射。
(b) \(\lambda = \dfrac{6.63\times10^{-34}}{0.15 \times 40} \approx 1.1\times10^{-34}\ \text{m}\)，比任何狹縫或原子核都小太多，繞射完全無法觀察。
練習 5：康普頓散射
X 射線光子被電子散射 90°。求波長的變化量。
解答
變化只有約 2.4 pm，所以只有在波長本身很短的 X 射線或 γ 射線中才明顯。
推薦影音
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簡述：Sirius Revision 說明光電效應的實驗結果，以及古典波動理論為什麼無法解釋，是 E.2 的入門。
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