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建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

適用： SL HL （橘色 HL 區塊只有 HL 需要） 目前為「只看 SL」模式，HL 延伸內容已隱藏。

D.1 重力場

重力場（Gravitational fields）描述有質量的物體如何在周圍空間產生吸引力。D.1 從牛頓萬有引力定律與克卜勒行星運動定律出發，定義重力場強度，並解釋衛星與行星的圓周軌道。SL 與 HL 都要學萬有引力、克卜勒定律與場強度；HL 另外要學重力位能、重力位、等位面、脫離速度與軌道能量。

牛頓萬有引力定律

SL + HL 核心：萬有引力定律（data booklet 有給）

任兩個質點之間的引力，與兩者質量的乘積成正比，與距離平方成反比：

\[ F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} \]

\(G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^2\ \text{kg}^{-2}\)。對球形物體（例如行星），\(r\) 是 球心到球心 的距離。

這是一種 平方反比定律（inverse-square law）：距離變成 2 倍，引力變成 1/4。

克卜勒的行星運動定律

  1. 軌道定律：行星以橢圓軌道繞太陽運行，太陽位於橢圓的一個焦點。
  2. 面積定律：行星與太陽的連線在相同時間內掃過相同面積，所以行星離太陽近時跑得快、遠時跑得慢。
  3. 週期定律：軌道週期的平方與軌道半長軸的立方成正比，\(T^2 \propto r^3\)。

對 圓形軌道，讓萬有引力提供向心力，就能推導出克卜勒第三定律：

\[ \frac{GMm}{r^2} = \frac{m4\pi^2 r}{T^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} \]

這個比值只與中心天體質量 \(M\) 有關，所以可以從衛星的軌道週期與半徑求出行星質量。

重力場強度

重力場強度（gravitational field strength） \(g\) 是每單位質量受到的重力，單位 N kg⁻¹（等同 m s⁻²）：

\[ g = \frac{F}{m} = \frac{GM}{r^2} \]

在地表 \(g \approx 9.8\ \text{N kg}^{-1}\)；離地表越遠，\(g\) 依平方反比減小。

場線（field lines） 表示試驗質量受力的方向：點質量的場線呈放射狀指向中心；地表附近的小範圍內，場線近似平行、等間距，也就是 均勻場（uniform field）。

例題：國際太空站在地表上方約 400 km 處，地球半徑 \(6.37 \times 10^6\) m、質量 \(5.97 \times 10^{24}\) kg。

\[ g = \frac{6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}}{(6.77\times10^6)^2} \approx 8.7\ \text{N kg}^{-1} \]

太空站中的太空人並不是「沒有重力」，而是和太空站一起 自由落體，所以感覺失重。

HL 延伸：重力位能與重力位

重力位能（gravitational potential energy）：把質量 \(m\) 從無限遠處移到距離 \(r\) 處，重力所作功的負值。

\[ E_p = -\frac{GMm}{r} \]

重力位（gravitational potential）：每單位質量的重力位能，單位 J kg⁻¹。

\[ V_g = -\frac{GM}{r} \]
  • 選擇無限遠處為零點，所以 重力位能與重力位永遠是負值，越靠近天體越負。
  • 把質量從 \(V_1\) 移到 \(V_2\)，所需功 \(W = m\Delta V_g\)。
  • 場強度是重力位的梯度：\(g = -\dfrac{\Delta V_g}{\Delta r}\)。

等位面（equipotential surfaces） 是重力位相同的面，永遠垂直於場線；沿等位面移動不需作功。

HL 延伸：軌道運動與脫離速度

軌道速率：萬有引力提供向心力，

\[ v_{\text{orbit}} = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]

軌道能量：圓軌道上衛星的能量

\[ E_k = \frac{GMm}{2r}, \qquad E_p = -\frac{GMm}{r}, \qquad E_{\text{total}} = -\frac{GMm}{2r} \]

總能量為負，代表衛星被「束縛」在軌道上。

脫離速度（escape speed）：從距離 \(r\) 處發射、剛好能逃到無限遠所需的最小速率（令總能量等於零）：

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

地表的脫離速度約 \(11.2\ \text{km s}^{-1}\)。

軌道衰減：低軌道衛星受稀薄大氣的阻力，總能量減少，軌道半徑變小。但根據 \(v = \sqrt{GM/r}\)，半徑變小時速率反而變大——損失的位能一半變成動能、一半因阻力變成熱。

練習題

先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。標有 HL 的題目只有 HL 需要練習，切換到「只看 SL」時會自動隱藏。

練習 1：地球與月球的引力

地球質量 \(5.97\times10^{24}\) kg，月球質量 \(7.35\times10^{22}\) kg，兩者相距 \(3.84\times10^8\) m。求兩者之間的引力。

解答
\[ F = \frac{6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24} \times 7.35\times10^{22}}{(3.84\times10^8)^2} \approx 2.0\times10^{20}\ \text{N} \]

練習 2：火星表面的重力場

火星質量 \(6.42\times10^{23}\) kg，半徑 \(3.39\times10^6\) m。求火星表面的重力場強度。

解答
\[ g = \frac{GM}{R^2} = \frac{6.67\times10^{-11} \times 6.42\times10^{23}}{(3.39\times10^6)^2} \approx 3.7\ \text{N kg}^{-1} \]

約為地球的 38%。

練習 3：同步衛星的軌道半徑

同步衛星的週期是 24 h。求它的軌道半徑（地球質量 \(5.97\times10^{24}\) kg）。

解答
\[ r = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24} \times 86400^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx 4.2\times10^7\ \text{m} \]

約為地球半徑的 6.6 倍。

練習 4：克卜勒第三定律的比例

行星 B 的軌道半徑是行星 A 的 4 倍，兩者繞同一顆恆星。B 的週期是 A 的幾倍？

解答

\(T^2 \propto r^3\)，所以 \(T_B = T_A \times 4^{3/2} = 8T_A\)。

HL 練習 5：月球的脫離速度

月球質量 \(7.35\times10^{22}\) kg，半徑 \(1.74\times10^6\) m。求月球表面的脫離速度。

解答
\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{2 \times 6.67\times10^{-11} \times 7.35\times10^{22}}{1.74\times10^6}} \approx 2.4\ \text{km s}^{-1} \]

只有地球的約五分之一，這是月球留不住大氣的原因之一。

HL 練習 6：提高衛星軌道所需的能量

500 kg 的衛星從半徑 \(7.0\times10^6\) m 的圓軌道移到 \(1.4\times10^7\) m 的圓軌道。至少需要提供多少能量？

解答

圓軌道的總能量 \(E = -\dfrac{GMm}{2r}\)：

\[ \Delta E = \frac{GMm}{2}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) = \frac{6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24} \times 500}{2}\left(\frac{1}{7.0\times10^6} - \frac{1}{1.4\times10^7}\right) \approx 7.1\times10^9\ \text{J} \]

推薦影音

D1.1 重力場與萬有引力

簡述：Sirius Revision 依新大綱講解萬有引力定律、平方反比關係與場的概念，是 D.1 的入門影片。

D1.3 克卜勒三大定律

簡述：說明克卜勒三大定律的內容，並示範如何從萬有引力與向心力推導 \(T^2 \propto r^3\)，對應本頁第二節。

Gravitation and Orbits（Revision Village）

簡述：Revision Village 整理重力場強度與圓形軌道的計算題型，適合用來練習 SL 程度的 Paper 2 題目。

HL D1.4 重要的重力場方程式

簡述：HL 延伸內容，整理重力位能、重力位、等位面與場強度梯度之間的關係，對應本頁第一個 HL 橘色框。

HL D1.6 軌道力學

簡述：HL 延伸內容，推導軌道速率、軌道能量與脫離速度，並解釋軌道衰減時速率為何變大。