建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

適用： HL 專屬目前為「只看 SL」模式，HL 延伸內容已隱藏。

D.4 電磁感應（HL）

電磁感應（Electromagnetic induction）是指通過線圈的磁通量改變時，線圈中會產生感應電動勢（induced emf）。這是發電機、變壓器、電磁爐與無線充電的原理，也是「電與磁是一體兩面」最直接的證據。D.4 是 HL 專屬子題，需要先熟悉 D.2 與 D.3 的磁場觀念。

磁通量與磁通鏈

磁通量（magnetic flux） \(\Phi\) 描述穿過一個面積的磁場「總量」：

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

\(\theta\) 是磁場與 面積法線 的夾角，單位韋伯 Wb（= T m²）。磁場垂直穿過線圈平面時磁通量最大；磁場平行於線圈平面時為零。

磁通鏈（flux linkage） 是 \(N\) 匝線圈的總磁通量 \(N\Phi\)。

法拉第定律

法拉第定律（Faraday's law）：感應電動勢等於磁通鏈的變化率。

\[ \varepsilon = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \]

改變磁通量的方法有三種：改變磁場 \(B\)、改變面積 \(A\)、改變角度 \(\theta\)（例如轉動線圈）。

導體棒切割磁場：長度 \(L\) 的導體以速度 \(v\) 垂直於磁場運動，導體內的自由電子受磁力推向一端，產生電動勢：

\[ \varepsilon = BvL \]

例題：200 匝、面積 \(4.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^2\) 的線圈，磁場在 0.10 s 內由 0.50 T 均勻減為 0，

\[ |\varepsilon| = 200 \times \frac{0.50 \times 4.0\times10^{-3}}{0.10} = 4.0\ \text{V} \]

冷次定律：感應電流往哪個方向？

冷次定律（Lenz's law）：感應電流的方向，會使它產生的磁場反抗造成它的磁通量變化。法拉第定律中的負號就是冷次定律。

判斷步驟：

原本的磁通量往哪個方向？正在增加還是減少？
感應電流產生的磁場要「反抗變化」：磁通量增加時，感應磁場與原磁場相反；減少時，感應磁場與原磁場相同。
用右手握拳定則，由感應磁場方向判斷感應電流方向。

冷次定律是 能量守恆 的結果：把磁鐵推進線圈時，線圈會產生排斥磁鐵的磁場，你必須作功克服它，這些功就變成電能。如果感應電流反而吸引磁鐵，就能無中生有地產生能量，違反能量守恆。

交流發電機

交流發電機（AC generator） 讓線圈在均勻磁場中以角頻率 \(\omega\) 轉動，磁通量隨時間呈餘弦變化，感應電動勢則呈正弦變化：

\[ \Phi = BA\cos(\omega t), \qquad \varepsilon = BAN\omega\sin(\omega t) \]

線圈平面平行於磁場時，磁通量為零，但變化率最大，所以 電動勢最大。
線圈平面垂直於磁場時，磁通量最大，但變化率為零，所以電動勢為零。
轉速加倍時，電動勢的 峰值與頻率都加倍。

練習題

先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。

練習 1：磁通量

0.40 T 的均勻磁場穿過面積 0.020 m² 的線圈，磁場與線圈法線夾 60°。求磁通量。

解答

\(\Phi = BA\cos\theta = 0.40 \times 0.020 \times \cos 60° = 4.0\times10^{-3}\ \text{Wb}\)

練習 2：法拉第定律

500 匝的線圈中，每匝的磁通量在 0.050 s 內由 \(3.0\times10^{-3}\) Wb 均勻減為 0。求感應電動勢的大小。

解答

\[ |\varepsilon| = N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 500 \times \frac{3.0\times10^{-3}}{0.050} = 30\ \text{V} \]

練習 3：導體棒切割磁場

長 0.25 m 的導體棒在 0.60 T 的磁場中以 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) 垂直於磁場滑動，與 2.0 Ω 的電阻組成迴路。求 (a) 感應電動勢、(b) 電流、(c) 維持等速所需的外力、(d) 驗證能量守恆。

解答

(a) \(\varepsilon = BvL = 0.60 \times 4.0 \times 0.25 = 0.60\ \text{V}\)

(b) \(I = \dfrac{0.60}{2.0} = 0.30\ \text{A}\)

(c) 感應電流使導體棒受到反向磁力 \(F = BIL = 0.60 \times 0.30 \times 0.25 = 0.045\ \text{N}\)，外力必須與它相等。

(d) 外力的功率 \(Fv = 0.045 \times 4.0 = 0.18\ \text{W}\)，電阻的發熱功率 \(\varepsilon I = 0.60 \times 0.30 = 0.18\ \text{W}\)，兩者相等。

練習 4：發電機的峰值電動勢

100 匝、面積 0.010 m² 的線圈在 0.20 T 的磁場中以 50 Hz 轉動。求電動勢的峰值。

解答

\(\omega = 2\pi f = 100\pi\ \text{rad s}^{-1}\)

\[ \varepsilon_0 = BAN\omega = 0.20 \times 0.010 \times 100 \times 100\pi \approx 63\ \text{V} \]

練習 5：觀念題：冷次定律

把磁鐵的 N 極推向一個線圈。線圈靠近磁鐵的那一端會變成 N 極還是 S 極？把磁鐵拉離時呢？

解答

推近時，線圈的磁通量增加，感應電流要 反抗增加，所以靠近磁鐵的一端變成 N 極，排斥磁鐵。

拉離時，磁通量減少，感應電流要 反抗減少，靠近磁鐵的一端變成 S 極，吸引磁鐵。兩種情況你都必須作功，這些功變成電能。