C.1 簡諧運動
簡諧運動（Simple harmonic motion, SHM）是一種特殊的來回振動：物體的加速度與離開平衡位置的位移成正比、方向相反。彈簧上的物體、小角度擺動的單擺，以及固體中的原子都近似做簡諧運動。SL 與 HL 都要學 SHM 的條件、週期與能量變化；HL 另外要學相位角，以及位移、速度與能量的完整方程式。
什麼樣的運動才是簡諧運動？
SL + HL 核心：SHM 的定義
物體做簡諧運動的條件是：
- 加速度 \(a\) 與位移 \(x\) 成正比；
- 負號表示加速度 永遠指向平衡位置，與位移方向相反。
\(\omega\) 是 角頻率（angular frequency），\(\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}\)。
描述振動的基本量：
- 振幅（amplitude） \(x_0\)：離開平衡位置的最大位移。
- 週期（period） \(T\)：完成一次完整振動的時間。
- 頻率（frequency） \(f = \dfrac{1}{T}\)，單位 Hz。
簡諧運動的週期 與振幅無關（等時性，isochronous），這就是擺鐘能準確計時的原因。
彈簧和單擺的週期
| 系統 | 週期 | 說明 |
|---|---|---|
| 彈簧–質量系統 | \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\) | 質量越大、彈簧越軟，週期越長 |
| 單擺（小角度） | \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\) | 只與擺長和重力場有關，與擺錘質量無關 |
單擺公式只在擺角很小（約 10° 以內）時成立。用單擺測量重力加速度 \(g\) 是常見的 IA 題目，數據處理方式見 實驗與數學工具。
簡諧運動的圖形與能量
位移、速度、加速度隨時間都是正弦或餘弦曲線：
- 在 平衡位置：位移為零、速率最大、加速度為零。
- 在 振幅處（最大位移）：速率為零、加速度最大。
- 速度比位移超前四分之一週期，加速度與位移剛好反相。
振動過程中，動能與位能不斷互相轉換，總能量守恆（忽略阻尼時）。在平衡位置全部是動能，在振幅處全部是位能。
HL 延伸：相位角與完整方程式
相位角（phase angle） \(\phi\) 描述振動在 \(t = 0\) 時處於哪個階段。位移與速度可以寫成：
消去時間後，得到速度與位移的關係：
所以最大速率 \(v_{\max} = \omega x_0\)，出現在 \(x = 0\)。
能量方程式（data booklet 有給）：
總能量與 振幅的平方 成正比：振幅變成 2 倍，總能量變成 4 倍。
例題：0.50 kg 的物體以振幅 0.10 m、週期 0.80 s 做 SHM。\(\omega = \dfrac{2\pi}{0.80} \approx 7.85\ \text{rad s}^{-1}\)，最大速率 \(v_{\max} = 7.85 \times 0.10 \approx 0.79\ \text{m s}^{-1}\)，總能量 \(E_T = \frac{1}{2}(0.50)(7.85)^2(0.10)^2 \approx 0.15\ \text{J}\)。
練習題
先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。標有 HL 的題目只有 HL 需要練習，切換到「只看 SL」時會自動隱藏。
練習 1：彈簧振子的週期
0.50 kg 的物體掛在彈簧常數 \(50\ \text{N m}^{-1}\) 的彈簧上振動。求週期。
解答
練習 2：秒擺的長度
週期 2.0 s 的單擺（每擺一邊剛好 1 秒）需要多長？
解答
練習 3：SHM 的加速度
物體以 2.0 Hz 做簡諧運動，當它在平衡位置右側 3.0 cm 處時，加速度是多少？
解答
\(\omega = 2\pi f \approx 12.6\ \text{rad s}^{-1}\)
負號表示加速度指向左（指向平衡位置）。
HL 練習 4：某位置的速率
振幅 5.0 cm、\(\omega = 10\ \text{rad s}^{-1}\) 的簡諧運動，物體在 \(x = 3.0\) cm 時的速率是多少？
解答
HL 練習 5：SHM 的能量分配
承上題，物體質量 0.20 kg。求總能量，以及在 \(x = 3.0\) cm 時的位能與動能。
解答
\(E_T = \frac{1}{2}m\omega^2x_0^2 = \frac{1}{2}(0.20)(100)(0.050)^2 = 0.025\ \text{J}\)
\(E_p = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 = \frac{1}{2}(0.20)(100)(0.030)^2 = 0.009\ \text{J}\)
\(E_k = 0.025 - 0.009 = 0.016\ \text{J}\)（用 \(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(0.20)(0.40)^2\) 驗算一致）
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