建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

適用： HL 專屬目前為「只看 SL」模式，HL 延伸內容已隱藏。

A.4 剛體力學（HL）

剛體力學（Rigid body mechanics）研究有大小、會轉動的物體，例如轉動的輪子、門與溜冰選手。它是 HL 專屬子題，核心想法是：直線運動中的每個量（位移、速度、加速度、力、質量、動量、動能）在轉動中都有一個對應的量，連公式的形式都一樣。先學好 A.1 運動學與 A.2 力與動量，A.4 會非常好上手。

力矩是什麼？

力矩（torque） \(\tau\) 描述力讓物體繞軸轉動的效果：

\[ \tau = Fr\sin\theta \]

\(r\) 是從轉軸到施力點的距離，\(\theta\) 是力與 \(r\) 的夾角，單位 N m。施力點離轉軸越遠、力越垂直於 \(r\)，力矩越大，這就是門把裝在離門軸最遠處的原因。

力偶（couple）：兩個大小相等、方向相反、不在同一直線上的力，合力為零但會產生淨力矩，使物體只轉動不平移，例如雙手轉方向盤。

剛體平衡需要什麼條件？

剛體要保持 靜力平衡（static equilibrium），必須同時滿足：

合力為零：\(\sum F = 0\)，沒有平移加速度。
對任一軸的合力矩為零：\(\sum \tau = 0\)，沒有角加速度。

解題技巧：把轉軸選在「未知力」的作用點上，這個力的力矩就是零，可以少一個未知數。

轉動運動的物理量

轉動運動學與直線運動學一一對應，等角加速度公式的形式也完全相同（data booklet 有給）：

直線運動	轉動運動	關係
位移 \(s\)	角位移 \(\theta\)（rad）	\(s = r\theta\)
速度 \(v\)	角速度 \(\omega\)（rad s⁻¹）	\(v = r\omega\)
加速度 \(a\)	角加速度 \(\alpha\)（rad s⁻²）	\(a = r\alpha\)
\(v = u + at\)	\(\omega_f = \omega_i + \alpha t\)
\(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)	\(\Delta\theta = \omega_i t + \frac{1}{2}\alpha t^2\)
\(v^2 = u^2 + 2as\)	\(\omega_f^2 = \omega_i^2 + 2\alpha\Delta\theta\)

轉動慣量與轉動版的牛頓第二定律

轉動慣量（moment of inertia） \(I\) 是物體抵抗角加速度的程度，相當於轉動中的「質量」。對一群質點：

\[ I = \sum m r^2 \]

轉動慣量不只看質量，還看 質量分布離轉軸多遠。同質量的圓環比實心圓盤的 \(I\) 大，因為質量都集中在外圈。題目若需要特定形狀（圓盤、球、桿）的轉動慣量，會直接提供公式。

轉動版的牛頓第二定律：

\[ \tau = I\alpha \]

角動量守恆

角動量（angular momentum） \(L = I\omega\)，單位 kg m² s⁻¹。當系統不受外力矩時，角動量守恆：

\[ I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \]

例子：花式溜冰選手旋轉時把手臂收回，\(I\) 變小，\(\omega\) 就變大，轉得更快。這個過程中選手並沒有被「推」，速度變快完全來自角動量守恆。

角衝量（angular impulse）：\(\Delta L = \tau\Delta t\)，對應直線運動的衝量 \(J = F\Delta t\)。

轉動動能

轉動中的物體具有 轉動動能（rotational kinetic energy）：

\[ E_k = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{L^2}{2I} \]

滾動（rolling without slipping） 的物體同時有平移與轉動動能，總動能 \(= \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2\)，且 \(v = r\omega\)。所以在同一斜面上由靜止滾下時，轉動慣量越大的物體（例如空心圓環），越多能量分配給轉動，到達底部的速度就越慢。

練習題

先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。

練習 1：扳手的力矩

用 50 N 的力推 0.80 m 長扳手的末端，力與扳手的夾角為 60°。求力矩。

解答

\[ \tau = Fr\sin\theta = 50 \times 0.80 \times \sin 60° \approx 35\ \text{N m} \]

練習 2：蹺蹺板平衡

30 kg 的小孩坐在蹺蹺板支點左側 1.5 m 處。45 kg 的小孩要坐在右側多遠處，蹺蹺板才會平衡？

解答

對支點合力矩為零：\(30g \times 1.5 = 45g \times d\)，\(d = 1.0\ \text{m}\)。

練習 3：飛輪加速

轉動慣量 \(0.40\ \text{kg m}^2\) 的飛輪由靜止受到 2.0 N m 的固定力矩，作用 5.0 s。求最後的角速度與轉動動能。

解答

\(\alpha = \dfrac{\tau}{I} = \dfrac{2.0}{0.40} = 5.0\ \text{rad s}^{-2}\)，\(\omega = \alpha t = 25\ \text{rad s}^{-1}\)。

\[ E_k = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(0.40)(25)^2 = 125\ \text{J} \]

練習 4：溜冰選手收手

溜冰選手張開手臂時轉動慣量 \(4.0\ \text{kg m}^2\)、角速度 \(2.0\ \text{rad s}^{-1}\)。收回手臂後轉動慣量變成 \(1.6\ \text{kg m}^2\)。求新的角速度，並比較前後的轉動動能。

解答

角動量守恆：\(4.0 \times 2.0 = 1.6 \times \omega\)，\(\omega = 5.0\ \text{rad s}^{-1}\)。

動能：前 \(\frac{1}{2}(4.0)(2.0)^2 = 8.0\ \text{J}\)，後 \(\frac{1}{2}(1.6)(5.0)^2 = 20\ \text{J}\)。

動能增加了 12 J，來自選手收手臂時肌肉所作的功。角動量守恆，但動能不守恆。

練習 5：實心圓柱滾下斜坡

實心圓柱（\(I = \frac{1}{2}mr^2\)）從高 1.2 m 的斜坡頂端由靜止無滑動地滾下。求到達底部的速率。

解答

\(mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}mr^2\right)\left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{3}{4}mv^2\)

\[ v = \sqrt{\frac{4gh}{3}} = \sqrt{\frac{4 \times 9.8 \times 1.2}{3}} \approx 4.0\ \text{m s}^{-1} \]

比無摩擦滑下的 \(\sqrt{2gh} \approx 4.8\ \text{m s}^{-1}\) 慢，因為有一部分能量變成轉動動能。