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建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

適用： SL HL （橘色 HL 區塊只有 HL 需要） 目前為「只看 SL」模式，HL 延伸內容已隱藏。

C.5 都卜勒效應

都卜勒效應（Doppler effect）是指波源與觀察者有相對運動時，觀察者接收到的頻率與波源發出的頻率不同：互相靠近時頻率變高，互相遠離時頻率變低。救護車經過時警笛聲由高變低、測速雷達與星系的紅移，都是都卜勒效應。SL 與 HL 都要學都卜勒效應的成因與光的紅移公式；HL 另外要學聲波在波源或觀察者移動時的頻率公式。

都卜勒效應為什麼會發生？

波源向觀察者移動時，每發出一個波峰後，波源已經往前走了一段距離，所以前方的波峰被「擠」在一起，波長變短、頻率變高；後方的波峰被拉開，波長變長、頻率變低。

SL + HL 核心：觀念重點

  • 波源本身發出的頻率 沒有改變，改變的是觀察者接收到的頻率。
  • 相對運動越快，頻率改變越多。
  • 波源經過觀察者的瞬間，接收頻率由高 突然 變低（若波源直接經過觀察者）。

光的都卜勒效應：紅移與藍移

電磁波也有都卜勒效應。當光源速度 \(v\) 遠小於光速 \(c\) 時：

\[ \frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx \frac{v}{c} \]
  • 紅移（redshift）：光源遠離觀察者，觀察到的波長變長（往光譜紅端移動）。
  • 藍移（blueshift）：光源靠近觀察者，觀察到的波長變短。

例題：某星系的氫譜線原本在 656.3 nm，觀測到 662.9 nm，紅移 \(\Delta\lambda = 6.6\) nm，所以遠離速度 \(v \approx c\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda} = 3.0\times10^8 \times \dfrac{6.6}{656.3} \approx 3.0 \times 10^6\ \text{m s}^{-1}\)。

應用：天文學家用星系的紅移發現幾乎所有星系都在遠離我們，這是宇宙膨脹的證據；交通警察的雷達測速槍、醫學上的都卜勒超音波測血流速度，也都利用都卜勒效應。

HL 延伸：聲波的都卜勒公式

聲波需要介質，所以「波源移動」與「觀察者移動」的公式不同（data booklet 有給）。\(v\) 是聲速、\(f\) 是波源頻率、\(f'\) 是觀察者接收到的頻率。

波源移動（速度 \(u_s\)），觀察者靜止：

\[ f' = f\left(\frac{v}{v \pm u_s}\right) \]

波源 遠離 用 \(+\)（頻率變低），靠近 用 \(-\)（頻率變高）。

觀察者移動（速度 \(u_o\)），波源靜止：

\[ f' = f\left(\frac{v \pm u_o}{v}\right) \]

觀察者 靠近 用 \(+\)，遠離 用 \(-\)。

例題：救護車以 \(30\ \text{m s}^{-1}\) 駛向靜止的路人，警笛頻率 700 Hz，聲速 340 m s⁻¹。

\[ f' = 700 \times \frac{340}{340 - 30} \approx 768\ \text{Hz} \]

駛離後 \(f' = 700 \times \dfrac{340}{340 + 30} \approx 643\ \text{Hz}\)。

記憶技巧：不要背正負號，先判斷「頻率應該變高還是變低」，再選讓答案符合判斷的符號。

練習題

先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。標有 HL 的題目只有 HL 需要練習，切換到「只看 SL」時會自動隱藏。

練習 1：星系的紅移

某星系的氫譜線在實驗室中為 486.1 nm，觀測到的是 491.0 nm。這個星系靠近還是遠離我們？速率多少？

解答

波長變長，是紅移，星系在 遠離。

\[ v \approx c\frac{\Delta\lambda}{\lambda} = 3.00\times10^8 \times \frac{4.9}{486.1} \approx 3.0\times10^6\ \text{m s}^{-1} \]

練習 2：很小的藍移

一顆恆星以 \(3.0\times10^4\ \text{m s}^{-1}\) 朝地球靠近。它的 656.3 nm 譜線會移動多少？

解答
\[ \Delta\lambda = \lambda\frac{v}{c} = 656.3 \times \frac{3.0\times10^4}{3.00\times10^8} \approx 0.066\ \text{nm} \]

靠近是藍移，觀測到約 656.23 nm。移動量很小，需要高解析度的光譜儀才量得出來。

HL 練習 3：火車鳴笛

火車以 \(25\ \text{m s}^{-1}\) 駛向站在月台的人，鳴笛頻率 500 Hz，聲速 \(340\ \text{m s}^{-1}\)。求火車靠近時與駛離後，月台上的人聽到的頻率。

解答

靠近：\(f' = 500 \times \dfrac{340}{340 - 25} \approx 540\ \text{Hz}\)

駛離：\(f' = 500 \times \dfrac{340}{340 + 25} \approx 466\ \text{Hz}\)

HL 練習 4：觀察者移動

騎機車的人以 \(20\ \text{m s}^{-1}\) 駛向一個靜止、發出 1000 Hz 聲音的喇叭，聲速 \(340\ \text{m s}^{-1}\)。他聽到的頻率是多少？

解答
\[ f' = f\frac{v + u_o}{v} = 1000 \times \frac{360}{340} \approx 1060\ \text{Hz} \]

推薦影音

C5.1 都卜勒效應入門

簡述：Sirius Revision 依新大綱用動畫說明波前如何被擠壓與拉開，並介紹光的紅移公式，SL 與 HL 都適用。

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