C.4 駐波與共振
駐波（Standing waves）是兩列頻率、振幅相同而行進方向相反的波疊加後，形成「看起來不前進」的波形，吉他弦、管樂器與微波爐中都有駐波。共振（Resonance）則是外力頻率等於系統自然頻率時振幅急劇變大的現象。C.4 在 SL 與 HL 的內容相同，常和 C.2 波動模型 的 \(v = f\lambda\) 一起出題。
駐波是怎麼形成的？
一列波在弦的固定端或管口反射後，與原來的入射波疊加，就會形成駐波。駐波上有兩種特殊位置：
- 節點（node）：位移永遠為零的點。
- 腹點（antinode）：振幅最大的點。
相鄰節點（或相鄰腹點）的距離是 半個波長 \(\dfrac{\lambda}{2}\)。
SL + HL 核心：駐波與行進波的比較
| 性質 | 行進波（travelling wave） | 駐波（standing wave） |
|---|---|---|
| 能量傳遞 | 沿傳播方向傳遞能量 | 不傳遞 能量 |
| 振幅 | 所有粒子振幅相同 | 隨位置改變，節點為零、腹點最大 |
| 相位 | 沿波逐漸改變 | 相鄰兩節點之間 全部同相；跨過一個節點就反相 |
弦與管的諧波
能形成駐波的頻率只有特定幾個，稱為 諧波（harmonics）。最低的頻率稱為 基頻（fundamental），也就是第一諧波。
| 系統 | 兩端條件 | 允許的波長 | 頻率 |
|---|---|---|---|
| 弦（兩端固定） | 兩端都是節點 | \(\lambda_n = \dfrac{2L}{n}\)，\(n = 1, 2, 3, \dots\) | \(f_n = n\dfrac{v}{2L}\)，所有整數倍 |
| 開管（兩端開口） | 兩端都是腹點 | \(\lambda_n = \dfrac{2L}{n}\)，\(n = 1, 2, 3, \dots\) | \(f_n = n\dfrac{v}{2L}\)，所有整數倍 |
| 閉管（一端封閉） | 封閉端節點、開口端腹點 | \(\lambda_n = \dfrac{4L}{n}\)，\(n = 1, 3, 5, \dots\) | \(f_n = n\dfrac{v}{4L}\)，只有奇數倍 |
例題：長 0.65 m 的吉他弦，波在弦上的速率 \(v = 286\ \text{m s}^{-1}\)，基頻 \(f_1 = \dfrac{286}{2 \times 0.65} = 220\ \text{Hz}\)（A3 音）。
解題技巧：先畫出駐波形狀，數一數管長或弦長中有幾個「半波長」或「四分之一波長」，再用 \(v = f\lambda\) 求頻率。
共振與阻尼
什麼是共振？
每個振動系統都有自己的 自然頻率（natural frequency）。當週期性外力（驅動力 driving force）的頻率等於自然頻率時，系統會從驅動源吸收最多能量，振幅變得非常大，這就是 共振（resonance）。
- 有用的共振：樂器的共鳴箱、微波爐加熱水分子、MRI、收音機調頻。
- 有害的共振：橋梁受風或步伐驅動而劇烈搖晃、機械零件因振動而疲勞斷裂。
阻尼如何影響振動？
阻尼（damping） 是摩擦或阻力使振動能量逐漸散失的效果：
- 輕阻尼（light damping）：振幅慢慢遞減，仍會振動很多次。
- 臨界阻尼（critical damping）：最快回到平衡位置且不越過，例如汽車的避震器。
- 過阻尼（heavy / overdamping）：不振動，但回到平衡位置的速度比臨界阻尼慢。
在 共振曲線（振幅對驅動頻率）上，阻尼越大，峰值越低、越寬，共振頻率也略微往低頻移動。
練習題
先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。
練習 1：弦的諧波
兩端固定、長 0.80 m 的弦，波速 \(240\ \text{m s}^{-1}\)。求基頻與第三諧波的頻率。
解答
\(f_1 = \dfrac{v}{2L} = \dfrac{240}{1.6} = 150\ \text{Hz}\)，\(f_3 = 3f_1 = 450\ \text{Hz}\)。
練習 2：閉管的諧波
一端封閉、長 0.25 m 的管子，聲速 \(340\ \text{m s}^{-1}\)。求最低的兩個共振頻率。
解答
\(f_1 = \dfrac{v}{4L} = \dfrac{340}{1.0} = 340\ \text{Hz}\)。閉管只有奇數諧波，下一個是 \(f_3 = 1020\ \text{Hz}\)。
練習 3：設計長笛
要讓兩端開口的管子基頻為 440 Hz（聲速 \(343\ \text{m s}^{-1}\)），管長應為多少？
解答
\(L = \dfrac{v}{2f_1} = \dfrac{343}{2 \times 440} \approx 0.39\ \text{m}\)
練習 4：從節點間距求波速
弦上的駐波相鄰兩節點相距 15 cm，振動頻率 200 Hz。求波在弦上的速率。
解答
相鄰節點相距半個波長：\(\lambda = 0.30\ \text{m}\)，\(v = f\lambda = 200 \times 0.30 = 60\ \text{m s}^{-1}\)。
推薦影音
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