E.1 原子結構
原子結構（Structure of the atom）說明原子由極小而密集的原子核與周圍的電子組成，電子只能處在特定的能階上，在能階之間躍遷時會吸收或放出特定頻率的光子。SL 與 HL 都要學拉塞福散射實驗、核子符號、發射與吸收光譜以及能階；HL 另外要學原子核半徑、最近距離的估算與氫原子的波耳模型。
拉塞福散射實驗告訴我們什麼？
蓋革–馬斯登–拉塞福實驗（Geiger–Marsden–Rutherford experiment）：用 α 粒子撞擊極薄的金箔，觀察散射角度。
| 觀察結果 | 推論 |
|---|---|
| 絕大多數 α 粒子直接穿過 | 原子大部分是 空的 |
| 少數 α 粒子偏折大角度 | 原子中心有 帶正電 的區域 |
| 極少數（約 1/8000）反彈回來 | 正電荷與幾乎所有質量集中在 極小的原子核 中 |
這個實驗推翻了湯姆森的「葡萄乾布丁模型」，建立了 核原子模型（nuclear model）。原子半徑約 \(10^{-10}\) m，原子核半徑約 \(10^{-15}\) m，相差約十萬倍。
核子符號
- \(Z\)：質子數（proton number），也稱原子序，決定元素種類。
- \(A\)：核子數（nucleon number），質子數加中子數。
- 中子數 \(N = A - Z\)。
同位素（isotopes） 是質子數相同、中子數不同的原子，化學性質相同但核性質（例如穩定性）不同，例如碳-12 與碳-14。
發射光譜和吸收光譜
SL + HL 核心：能階與光子
原子中的電子只能處於特定的 離散能階（discrete energy levels）。電子從高能階躍遷到低能階時放出一個光子；吸收能量剛好等於能階差的光子時，則從低能階躍遷到高能階。
\(h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}\) 是普朗克常數（Planck constant）。光子能量常用 eV 表示。
- 發射光譜（emission spectrum）：加熱或通電的低壓氣體只發出特定波長的光，在暗背景上形成 亮線。
- 吸收光譜（absorption spectrum）：白光通過冷氣體時，特定波長被吸收，在連續光譜上形成 暗線。
同一元素的發射線與吸收線位置相同，每種元素的譜線組合都是獨一無二的「指紋」，天文學家據此分析恆星的成分。
例題：氫原子電子從 −1.51 eV 躍遷到 −3.40 eV，放出光子的能量 \(1.89\ \text{eV} = 3.02 \times 10^{-19}\ \text{J}\)，波長 \(\lambda = \dfrac{hc}{E} = \dfrac{6.63\times10^{-34}\times3.00\times10^8}{3.02\times10^{-19}} \approx 656\ \text{nm}\)（紅光）。
HL 延伸：原子核半徑與最近距離
原子核半徑 隨核子數增加：
因為 \(R^3 \propto A\)，原子核的體積與核子數成正比，所以 所有原子核的密度幾乎相同（約 \(10^{17}\ \text{kg m}^{-3}\)）。
最近距離（distance of closest approach）：α 粒子正面撞向原子核時，動能全部轉換成電位能的那一點，可用來估算原子核大小的上限。
偏離拉塞福散射：當 α 粒子能量很高、能接近到 \(10^{-15}\) m 時，強核力（strong nuclear force） 開始作用，散射結果不再符合只考慮庫侖力的預測，這個現象也可以用來估算原子核半徑。
HL 延伸：氫原子的波耳模型
波耳模型（Bohr model） 假設電子在特定圓軌道上運動，軌道角動量是量子化的：
由此可推得氫原子的能階：
- \(n = 1\) 是 基態（ground state），能量 −13.6 eV；把電子從基態完全移走需要 13.6 eV，稱為 游離能（ionization energy）。
- 能量為負，表示電子被原子核束縛。
- 波耳模型只能準確預測氫原子（單電子系統），無法解釋多電子原子，最終被量子力學取代。
練習題
先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。標有 HL 的題目只有 HL 需要練習，切換到「只看 SL」時會自動隱藏。
練習 1：核子符號
\({}^{238}_{92}\text{U}\) 有幾個質子、幾個中子、幾個核子？
解答
質子 92 個，核子 238 個，中子 \(238 - 92 = 146\) 個。
練習 2：能階躍遷的波長
電子從 −0.85 eV 能階躍遷到 −3.40 eV 能階。求放出光子的能量與波長。
解答
\(\Delta E = -0.85 - (-3.40) = 2.55\ \text{eV}\)
這是藍綠色的光（氫原子的 Hβ 譜線）。\(hc \approx 1240\ \text{eV nm}\) 是很好用的換算值。
練習 3：光子能量
波長 400 nm 的紫光，一個光子的能量是多少 eV？
解答
\(E = \dfrac{1240}{400} = 3.1\ \text{eV}\)（\(= 5.0\times10^{-19}\ \text{J}\)）
HL 練習 4：金原子核的半徑
用 \(R = R_0 A^{1/3}\)（\(R_0 = 1.2\times10^{-15}\) m）估算 \({}^{197}\text{Au}\) 原子核的半徑。
解答
\(R = 1.2\times10^{-15} \times 197^{1/3} \approx 1.2\times10^{-15} \times 5.82 \approx 7.0\times10^{-15}\ \text{m}\)
HL 練習 5：α 粒子的最近距離
5.0 MeV 的 α 粒子正面射向金原子核（\(Z = 79\)）。求最近距離。
解答
動能全部變成電位能：
大於金原子核半徑（約 \(7\times10^{-15}\) m），所以只是原子核大小的上限。
HL 練習 6：氫原子的萊曼線
用波耳模型求氫原子電子從 \(n = 2\) 躍遷到 \(n = 1\) 時放出光子的波長。
解答
\(E_2 = -\dfrac{13.6}{4} = -3.4\ \text{eV}\)，\(E_1 = -13.6\ \text{eV}\)，\(\Delta E = 10.2\ \text{eV}\)。
\(\lambda = \dfrac{1240}{10.2} \approx 122\ \text{nm}\)，在紫外線範圍。
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