E.3 放射性衰變
放射性衰變（Radioactive decay）是不穩定的原子核自發地放出 α 粒子、β 粒子或 γ 射線，變成更穩定原子核的過程。E.3 先用質量虧損與結合能解釋原子核為什麼有穩定與不穩定之分，再介紹三種衰變、它們的穿透能力，以及半衰期。SL 與 HL 共同學習這些內容；HL 另外要學衰變常數與活度的指數方程式。
質量虧損與結合能
原子核的質量 小於 組成它的質子與中子質量總和，這個差值稱為 質量虧損（mass defect） \(\Delta m\)。根據愛因斯坦的質能等價：
質量虧損對應的能量稱為 結合能（binding energy）：把原子核完全拆成個別核子所需的能量。核物理常用 原子質量單位 u（\(1\ \text{u} \approx 931.5\ \text{MeV}\,c^{-2}\)）。
SL + HL 核心：每核子結合能曲線
每核子結合能（binding energy per nucleon） 越高，原子核越穩定。曲線的重點：
- 鐵-56（Fe-56）附近最高（約 8.8 MeV），是 最穩定 的原子核。
- 輕核融合（往右上移動）與 重核分裂（往左上移動）都會讓每核子結合能增加，所以 都會釋放能量。
強核力（strong nuclear force） 把核子綁在一起：它是極短程（約 \(10^{-15}\) m）的吸引力，比質子間的庫侖斥力強得多。原子核很大時，強核力無法涵蓋整個原子核，庫侖斥力的影響變大，所以重核較不穩定。
α、β、γ 衰變
| 衰變 | 放出的粒子 | 原子核變化 | 範例 |
|---|---|---|---|
| α 衰變 | 氦核 \({}^4_2\text{He}\) | \(A - 4\)、\(Z - 2\) | \({}^{238}_{92}\text{U} \to {}^{234}_{90}\text{Th} + {}^4_2\alpha\) |
| β⁻ 衰變 | 電子 + 反微中子 | \(A\) 不變、\(Z + 1\)（中子變質子） | \({}^{14}_{6}\text{C} \to {}^{14}_{7}\text{N} + {}^{\ 0}_{-1}e + \bar{\nu}_e\) |
| β⁺ 衰變 | 正電子 + 微中子 | \(A\) 不變、\(Z - 1\)（質子變中子） | \({}^{22}_{11}\text{Na} \to {}^{22}_{10}\text{Ne} + {}^{0}_{1}e + \nu_e\) |
| γ 衰變 | 高能光子 | \(A\)、\(Z\) 都不變，原子核從激發態回到低能態 | 常伴隨 α 或 β 衰變發生 |
核反應方程式兩邊的 核子數與質子數（電荷）都要守恆。
為什麼需要微中子？ β 衰變放出的電子能量是 連續分布 的，而不是單一數值。為了讓能量與動量守恆，物理學家推測有一個幾乎不與物質作用的粒子帶走了剩餘能量，這就是 微中子（neutrino）。
三種輻射的性質比較
| 性質 | α | β | γ |
|---|---|---|---|
| 電荷 | +2e | −e 或 +e | 0 |
| 游離能力 | 最強 | 中等 | 最弱 |
| 穿透能力 | 最弱，幾公分空氣或一張紙擋住 | 中等，幾公釐鋁板擋住 | 最強，需要數公分鉛板大幅減弱 |
| 在電場、磁場中 | 偏折（質量大，偏折小） | 偏折（質量小，偏折大） | 不偏折 |
背景輻射（background radiation）：環境中一直存在的輻射，來自岩石、氡氣、宇宙射線與醫療。測量樣本活度時，必須先 扣除背景計數率。
半衰期
放射性衰變是 隨機（random） 且 自發（spontaneous） 的：無法預測哪一個原子核何時衰變，也不受溫度、壓力等外在條件影響。但大量原子核的整體行為是可以預測的。
半衰期（half-life） \(T_{1/2}\)：未衰變原子核數目（或活度）減少到一半所需的時間。經過 \(n\) 個半衰期，剩下的比例是 \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\)。
活度（activity） \(A\)：每秒衰變的次數，單位貝克 Bq（1 Bq = 1 次衰變 s⁻¹）。
例題：某樣本活度 800 Bq，半衰期 6 小時，24 小時後的活度：24 小時 = 4 個半衰期，\(800 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 50\ \text{Bq}\)。
HL 延伸：衰變常數與指數方程式
衰變常數（decay constant） \(\lambda\)：單位時間內一個原子核衰變的機率，單位 s⁻¹。活度與未衰變核數的關係：
未衰變核數與活度都隨時間 指數衰減：
半衰期與衰變常數的關係：
畫成直線：兩邊取自然對數，\(\ln A = \ln A_0 - \lambda t\)，畫 \(\ln A\) 對 \(t\) 的圖，斜率就是 \(-\lambda\)（見 實驗與數學工具 的對數圖）。
測量很長的半衰期：鈾-238 的半衰期約 45 億年，無法等它衰減。做法是測量已知質量樣本的活度 \(A\)，由莫耳質量求出原子核數 \(N\)，再用 \(\lambda = \dfrac{A}{N}\) 算出衰變常數與半衰期。
原子核能階的證據：α 粒子與 γ 光子的能量都是 離散 的特定值，表示原子核也有量子化的能階；β 粒子的能量則是連續的，因為能量由電子與微中子分享。
練習題
先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。標有 HL 的題目只有 HL 需要練習，切換到「只看 SL」時會自動隱藏。
練習 1：寫出衰變方程式
寫出 (a) \({}^{226}_{88}\text{Ra}\) 的 α 衰變、(b) \({}^{90}_{38}\text{Sr}\) 的 β⁻ 衰變方程式。
解答
(a) \({}^{226}_{88}\text{Ra} \to {}^{222}_{86}\text{Rn} + {}^{4}_{2}\alpha\)
(b) \({}^{90}_{38}\text{Sr} \to {}^{90}_{39}\text{Y} + {}^{\ 0}_{-1}e + \bar{\nu}_e\)
檢查：兩邊的核子數與質子數都要守恆。
練習 2：剩下多少
80 mg 的放射性樣本，半衰期 5.0 天。20 天後還剩多少未衰變？
解答
20 天 = 4 個半衰期，\(80 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 5.0\ \text{mg}\)。
練習 3：從活度求半衰期
樣本的活度在 12 小時內由 3200 Bq 降到 200 Bq。求半衰期。
解答
\(\dfrac{200}{3200} = \dfrac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4\)，經過 4 個半衰期，所以 \(T_{1/2} = \dfrac{12}{4} = 3.0\ \text{h}\)。
練習 4：氦-4 的結合能
質子質量 1.007276 u，中子質量 1.008665 u，氦-4 原子核質量 4.001506 u。求質量虧損、結合能與每核子結合能（\(1\ \text{u} = 931.5\ \text{MeV}\,c^{-2}\)）。
解答
\(\Delta m = 2(1.007276) + 2(1.008665) - 4.001506 = 0.030376\ \text{u}\)
結合能 \(= 0.030376 \times 931.5 \approx 28.3\ \text{MeV}\)，每核子約 \(7.07\ \text{MeV}\)。
HL 練習 5：衰變常數
碘-131 的半衰期 8.0 天。求衰變常數，以及 20 天後剩下的比例。
解答
\(\lambda = \dfrac{\ln 2}{8.0 \times 86400\ \text{s}} \approx 1.0\times10^{-6}\ \text{s}^{-1}\)
20 天後：\(\dfrac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} = \left(\frac{1}{2}\right)^{20/8} \approx 0.18\)
HL 練習 6：從質量求活度
求 1.0 μg 碘-131（莫耳質量 131 g mol⁻¹）的活度。
解答
\(N = \dfrac{1.0\times10^{-6}}{131} \times 6.02\times10^{23} \approx 4.6\times10^{15}\)
\(A = \lambda N = 1.0\times10^{-6} \times 4.6\times10^{15} \approx 4.6\times10^9\ \text{Bq}\)
只有百萬分之一克，活度就高達數十億貝克。
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