E.5 核融合與恆星
核融合與恆星（Fusion and stars）說明恆星如何靠核心的核融合發光、為什麼能長期維持穩定，以及恆星依質量不同走向白矮星、中子星或黑洞的演化路徑。E.5 也介紹天文學家如何用視差測距、用光度與溫度把恆星畫在赫羅圖上。這個子題結合了 B.1 的黑體輻射與 E.3 的結合能，SL 與 HL 的內容相同。
核融合為什麼需要極高溫？
核融合（nuclear fusion） 是兩個輕原子核結合成較重的原子核，並釋放能量。例如恆星中的質子–質子鏈，最後的淨結果是 4 個氫核變成 1 個氦核：
原子核都帶正電，要讓它們靠得夠近、讓強核力發揮作用，必須克服強大的庫侖斥力。這需要約 \(10^7\) K 的 極高溫（粒子動能夠大）與 高密度（碰撞夠頻繁），只有恆星核心等環境才能自然達成。
恆星如何保持穩定？
SL + HL 核心：恆星的平衡
主序星處於 流體靜力平衡（hydrostatic equilibrium）：
- 向內：重力 想把恆星壓縮。
- 向外：核融合產生的 輻射壓力 與高溫氣體的 熱壓力。
兩者平衡時恆星大小穩定。當核心燃料耗盡、核融合變慢時，平衡被打破，恆星就開始演化。
恆星的距離與光度
恆星視差（stellar parallax）：地球繞太陽公轉時，近距離恆星相對於遠方背景恆星的位置會有微小變化。視差角 \(p\) 以角秒（arcsecond）表示時：
秒差距（parsec, pc）：視差角為 1 角秒時的距離，1 pc ≈ 3.26 光年（ly）≈ \(3.09 \times 10^{16}\) m。視差法只適用於數百 pc 內的恆星，太遠時視差角太小量不出來。
光度（luminosity） \(L\) 是恆星每秒發出的總能量。把恆星當成黑體，由 斯特凡–波茲曼定律：
再搭配視亮度 \(b = \dfrac{L}{4\pi d^2}\)，就能在知道距離時求光度，或在知道光度時求距離。
例題：兩顆恆星光度相同，A 的表面溫度是 B 的 2 倍，則 A 的半徑是 B 的幾倍？由 \(L \propto R^2T^4\)，\(R^2 \propto \dfrac{1}{T^4}\)，所以 \(R_A = \dfrac{R_B}{4}\)。
赫羅圖
赫羅圖（Hertzsprung–Russell diagram, HR diagram） 以 表面溫度 為橫軸（注意：溫度由左往右遞減）、光度 為縱軸（對數刻度）：
| 區域 | 位置 | 特徵 |
|---|---|---|
| 主序帶（main sequence） | 左上到右下的對角帶 | 核心正在進行氫融合，約 90% 的恆星在這裡，太陽也是 |
| 紅巨星（red giants） | 右上 | 溫度低但體積大，所以光度高 |
| 超巨星（supergiants） | 最上方 | 極亮、極大 |
| 白矮星（white dwarfs） | 左下 | 溫度高但體積小，所以光度低 |
主序星的質量越大，光度越高、溫度越高，在主序帶上的位置越靠左上，但 壽命越短，因為它消耗燃料的速度快得多。
恆星如何演化？
恆星的命運主要由 質量 決定：
flowchart LR
A[星雲 Nebula] --> B[主序星 Main sequence]
B -->|質量小於約 8 倍太陽| C[紅巨星 Red giant]
C --> D[行星狀星雲 Planetary nebula]
D --> E[白矮星 White dwarf]
B -->|質量大於約 8 倍太陽| F[紅超巨星 Red supergiant]
F --> G[超新星 Supernova]
G -->|核心較小| H[中子星 Neutron star]
G -->|核心較大| I[黑洞 Black hole]- 白矮星：靠 電子簡併壓力（electron degeneracy pressure） 抵抗重力。白矮星質量上限約 1.4 倍太陽質量，稱為 錢德拉塞卡極限（Chandrasekhar limit）。
- 中子星：靠 中子簡併壓力 抵抗重力，密度與原子核相當。中子星的質量上限約 2～3 倍太陽質量，稱為 奧本海默–沃爾科夫極限（Oppenheimer–Volkoff limit）。
- 黑洞：核心質量超過中子星的上限，任何壓力都無法阻止塌縮。
- 比鐵更重的元素主要在 超新星爆炸 與中子星合併中產生，因為鐵之後的融合不再釋放能量。
練習題
先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。
練習 1：視差測距
某恆星的視差角為 0.20 角秒。它距離我們多少秒差距？多少光年？
解答
\(d = \dfrac{1}{0.20} = 5.0\ \text{pc} \approx 5.0 \times 3.26 \approx 16\ \text{ly}\)
練習 2：高溫恆星的峰值波長
表面溫度 10000 K 的恆星，輻射峰值波長是多少？它看起來是什麼顏色？
解答
\(\lambda_{\max} = \dfrac{2.9\times10^{-3}}{10000} = 2.9\times10^{-7}\ \text{m} = 290\ \text{nm}\)
峰值在紫外線，可見光部分偏藍，所以看起來是 藍白色。
練習 3：光度比較
某恆星半徑是太陽的 2 倍、表面溫度是太陽的 1.5 倍。它的光度是太陽的幾倍？
解答
\(L \propto R^2T^4\)：\(\dfrac{L}{L_\odot} = 2^2 \times 1.5^4 = 4 \times 5.06 \approx 20\)
練習 4：從視亮度求距離
某恆星光度 \(4.0\times10^{28}\) W，在地球測得視亮度 \(2.0\times10^{-9}\ \text{W m}^{-2}\)。求它的距離（以 m 和 pc 表示）。
解答
\(\dfrac{1.26\times10^{18}}{3.09\times10^{16}} \approx 41\ \text{pc}\)
練習 5：觀念題：太陽的未來
描述太陽最終的演化路徑，並說明是什麼力量讓它最後的狀態保持穩定。
解答
太陽質量小於約 8 倍太陽質量：主序星 → 核心氫耗盡後膨脹成 紅巨星 → 外層拋出形成 行星狀星雲 → 核心留下 白矮星。
白矮星不再進行核融合，靠 電子簡併壓力 抵抗重力。太陽的核心質量低於錢德拉塞卡極限（約 1.4 倍太陽質量），所以不會繼續塌縮成中子星或黑洞。
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