A.2 力與動量
力與動量（Forces and momentum）解釋物體 為什麼 會改變運動狀態：牛頓三大定律把力和加速度連起來，動量守恆則讓我們在不知道碰撞細節時，仍能算出碰撞後的速度。A.2 在 SL 與 HL 的內容相同，涵蓋自由體圖、各種常見的力、衝量、碰撞與等速圓周運動。
牛頓三大定律說了什麼？
SL + HL 核心：牛頓運動定律
- 第一定律（慣性定律）：物體所受的合力為零時，會保持靜止或等速直線運動。
- 第二定律：合力等於動量的變化率，\(F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}\)；質量固定時簡化成 \(F = ma\)。
- 第三定律：A 對 B 施力時，B 也同時對 A 施一個大小相等、方向相反、同類型 的力。這兩個力作用在 不同物體 上，所以不會互相抵消。
平衡（equilibrium）：合力為零的狀態，物體可能靜止，也可能等速運動。
常見的力與自由體圖
自由體圖（free-body diagram） 只畫出「單一物體」受到的所有外力，每個力用從物體出發的箭頭表示。畫對自由體圖是解力學題的第一步。
| 力 | 公式 | 說明 |
|---|---|---|
| 重力（weight） | \(F_g = mg\) | 方向鉛直向下，\(g \approx 9.8\ \text{m s}^{-2}\) |
| 正向力（normal force） | 由平衡或 \(F = ma\) 求出 | 垂直於接觸面 |
| 摩擦力（friction） | \(F_f \le \mu_s F_N\)（靜）；\(F_f = \mu_d F_N\)（動） | 與相對運動（或運動趨勢）方向相反 |
| 彈力（elastic force） | \(F_H = -k\Delta x\)（虎克定律） | \(k\) 是彈簧常數，負號表示恢復力 |
| 黏滯阻力（viscous drag） | \(F_d = 6\pi\eta r v\)（斯托克斯定律） | 適用於小球體在流體中低速運動 |
| 浮力（buoyancy） | \(F_b = \rho V g\) | 等於被排開流體的重量 |
靜摩擦係數 \(\mu_s\) 通常大於 動摩擦係數 \(\mu_d\)，所以把靜止的箱子推動比維持它滑動更費力。
例題（斜面）：質量 5.0 kg 的木塊放在 30° 的光滑斜面上。沿斜面方向的合力是 \(mg\sin 30° = 5.0 \times 9.8 \times 0.5 = 24.5\ \text{N}\)，所以加速度 \(a = g\sin 30° = 4.9\ \text{m s}^{-2}\)。
動量和衝量是什麼？
動量（momentum） \(p = mv\)，單位 kg m s⁻¹，是向量。衝量（impulse） 是力對時間的作用效果：
在力–時間圖中，曲線下面積就是衝量。同樣的動量變化，作用時間越長、平均力越小，這就是安全氣囊、跳遠沙坑與膝蓋彎曲落地的原理。
動量守恆什麼時候成立？
SL + HL 核心：動量守恆定律
當系統 不受外力（或外力合力為零）時，系統的總動量守恆：
碰撞與爆炸的時間很短，外力（例如摩擦力）的衝量可以忽略，所以動量守恆幾乎總是成立。
| 類型 | 動量 | 動能 |
|---|---|---|
| 彈性碰撞（elastic） | 守恆 | 守恆 |
| 非彈性碰撞（inelastic） | 守恆 | 減少（轉成熱與聲音） |
| 完全非彈性碰撞 | 守恆 | 減少最多，碰後黏在一起 |
| 爆炸（explosion） | 守恆（原本為零則仍為零） | 增加（來自化學能等） |
例題：2.0 kg 的推車以 \(3.0\ \text{m s}^{-1}\) 撞上靜止的 1.0 kg 推車後黏在一起，碰後速度 \(v = \dfrac{2.0 \times 3.0}{3.0} = 2.0\ \text{m s}^{-1}\)。動能由 9.0 J 降到 6.0 J，所以是非彈性碰撞。
等速圓周運動
物體以固定速率繞圓周運動時，速度的 方向 一直在改變，所以仍有加速度，方向指向圓心，稱為 向心加速度（centripetal acceleration）。
其中 \(\omega\) 是角速度（angular speed，單位 rad s⁻¹）、\(T\) 是週期。根據 \(F = ma\)，需要一個指向圓心的合力 \(F = \dfrac{mv^2}{r}\)。
向心力不是一種新的力
向心力（centripetal force）只是「指向圓心的合力」的名稱，它必須由真實的力提供：繩子的張力、重力（衛星）、摩擦力（車子轉彎）或正向力。自由體圖中 不要 另外畫一個「向心力」。
練習題
先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。
練習 1：煞車所需的力
質量 1200 kg 的汽車在 4.0 s 內由 \(20\ \text{m s}^{-1}\) 均勻減速到停止。求煞車產生的平均合力。
解答
\(a = \dfrac{0 - 20}{4.0} = -5.0\ \text{m s}^{-2}\)，\(F = ma = 1200 \times (-5.0) = -6.0 \times 10^3\ \text{N}\)。
合力大小 6000 N，方向與運動方向相反。
練習 2：有摩擦力的水平拉動
10 kg 的箱子放在水平地面，用 50 N 的水平力拉動，動摩擦係數 \(\mu_d = 0.30\)。求箱子的加速度。
解答
正向力 \(F_N = mg = 98\ \text{N}\)，摩擦力 \(F_f = \mu_d F_N = 0.30 \times 98 = 29.4\ \text{N}\)。
練習 3：網球的衝量
0.058 kg 的網球以 \(30\ \text{m s}^{-1}\) 打到球拍，以 \(20\ \text{m s}^{-1}\) 反向彈回，接觸時間 5.0 ms。求衝量大小與球拍施加的平均力。
解答
取彈回方向為正：\(\Delta p = 0.058 \times 20 - 0.058 \times (-30) = 0.058 \times 50 = 2.9\ \text{N s}\)。
注意速度反向時，速度變化量是 \(30 + 20 = 50\)，不是 \(30 - 20\)。
練習 4：判斷彈性碰撞
3.0 kg 的滑車以 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) 撞上靜止的 1.0 kg 滑車。碰撞後 3.0 kg 滑車以 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) 繼續同方向前進。求 1.0 kg 滑車的速度，並判斷是否為彈性碰撞。
解答
動量守恆：\(3.0 \times 4.0 = 3.0 \times 2.0 + 1.0 \times v\)，\(v = 6.0\ \text{m s}^{-1}\)。
動能：碰前 \(\frac{1}{2}(3.0)(4.0)^2 = 24\ \text{J}\)；碰後 \(\frac{1}{2}(3.0)(2.0)^2 + \frac{1}{2}(1.0)(6.0)^2 = 6 + 18 = 24\ \text{J}\)。
動能守恆，所以是 彈性碰撞。
練習 5：繩子拉著的圓周運動
0.50 kg 的小球綁在 0.80 m 長的繩子上，在水平面以每秒 2.0 圈做等速圓周運動（忽略重力的影響）。求小球的速率與繩子的張力。
解答
\(T = 0.50\ \text{s}\)，\(v = \dfrac{2\pi r}{T} = \dfrac{2\pi \times 0.80}{0.50} \approx 10\ \text{m s}^{-1}\)。
張力提供向心力：
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