跳轉至

建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

適用： SL HL （橘色 HL 區塊只有 HL 需要） 目前為「只看 SL」模式，HL 延伸內容已隱藏。

D.3 電磁場中的運動

電磁場中的運動（Motion in electromagnetic fields）討論帶電粒子與載流導線在電場、磁場中受到的力與運動軌跡：均勻電場中的帶電粒子像拋體一樣走拋物線，均勻磁場中的帶電粒子則做等速圓周運動。這些原理用在粒子加速器、質譜儀、電動機與陰極射線管。D.3 在 SL 與 HL 的內容相同。

帶電粒子在均勻電場中怎麼運動？

均勻電場對電荷 \(q\) 施加固定的力 \(F = qE\)，所以粒子做 等加速度運動，\(a = \dfrac{qE}{m}\)。

  • 平行於電場射入：沿直線加速或減速。被電位差 \(V\) 加速時，粒子獲得動能 \(\Delta E_k = qV\)。
  • 垂直於電場射入：與 拋體運動 完全相同——垂直電場方向等速，沿電場方向等加速，軌跡是 拋物線。

帶電粒子在磁場中受到什麼力？

SL + HL 核心：磁力公式（data booklet 有給）

運動電荷 在磁場中受到的力：

\[ F = qvB\sin\theta \]

載流導線 在磁場中受到的力：

\[ F = BIL\sin\theta \]

\(\theta\) 是速度（或電流）與磁場的夾角。速度與磁場平行時 \(\theta = 0\)，不受力。

方向判斷：用 右手定則（或弗萊明左手定則）。張開右手，四指指向磁場 \(B\)、拇指指向正電荷的速度 \(v\)（或電流 \(I\)），掌心推出的方向就是受力方向。負電荷（例如電子）受力方向相反。

為什麼帶電粒子在磁場中做圓周運動？

磁力永遠 垂直於速度，所以磁力不作功、不改變粒子的速率，只改變方向，正好提供向心力：

\[ qvB = \frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{mv}{qB} \]
  • 動量越大，半徑越大；磁場越強、電荷越大，半徑越小。
  • 圓周運動的週期 \(T = \dfrac{2\pi m}{qB}\) 與速率無關，這是迴旋加速器（cyclotron）的原理。
  • 若速度不完全垂直於磁場，平行分量不受影響，粒子會做 螺旋運動。

例題：電子以 \(2.0 \times 10^7\ \text{m s}^{-1}\) 垂直射入 \(5.0 \times 10^{-3}\) T 的磁場，\(r = \dfrac{9.11\times10^{-31} \times 2.0\times10^7}{1.60\times10^{-19} \times 5.0\times10^{-3}} \approx 2.3\ \text{cm}\)。

同時有電場和磁場：速度選擇器

讓電場與磁場互相垂直，並使電力與磁力方向相反。只有當兩力大小相等時，粒子才能直線通過：

\[ qE = qvB \quad\Rightarrow\quad v = \frac{E}{B} \]

所以這個裝置只讓特定速率的粒子通過，稱為 速度選擇器（velocity selector），它常放在質譜儀前端。湯姆森用類似的方法量出電子的 荷質比（charge-to-mass ratio） \(e/m\)。

兩條平行導線之間的力

兩條平行載流導線，各自的磁場會對另一條導線施力。每單位長度的力：

\[ \frac{F}{L} = \mu_0\frac{I_1 I_2}{2\pi r} \]

\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}\) 是真空磁導率（permeability of free space）。同向電流互相吸引，反向電流互相排斥——這和電荷「同性相斥」剛好相反，是常見的考點。

練習題

先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。

練習 1：質子在磁場中

質子以 \(3.0\times10^6\ \text{m s}^{-1}\) 垂直射入 0.20 T 的磁場。求它受到的磁力與圓周運動的半徑（質子質量 \(1.67\times10^{-27}\) kg）。

解答

\(F = qvB = 1.60\times10^{-19} \times 3.0\times10^6 \times 0.20 = 9.6\times10^{-14}\ \text{N}\)

\[ r = \frac{mv}{qB} = \frac{1.67\times10^{-27} \times 3.0\times10^6}{1.60\times10^{-19} \times 0.20} \approx 0.16\ \text{m} \]

練習 2：載流導線受力

長 0.50 m、電流 4.0 A 的導線放在 0.30 T 的磁場中。求導線與磁場垂直時，以及夾 30° 時受到的力。

解答

垂直：\(F = BIL = 0.30 \times 4.0 \times 0.50 = 0.60\ \text{N}\)

夾 30°：\(F = BIL\sin 30° = 0.30\ \text{N}\)

練習 3：速度選擇器

速度選擇器的電場 \(2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\)，磁場 0.050 T。什麼速率的粒子能直線通過？

解答

\(v = \dfrac{E}{B} = \dfrac{2.0\times10^4}{0.050} = 4.0\times10^5\ \text{m s}^{-1}\)，與粒子的電荷和質量無關。

練習 4：平行導線

兩條平行長直導線相距 5.0 cm，分別通有 10 A 與 15 A 的同向電流。求每公尺導線受到的力，並判斷互相吸引或排斥。

解答
\[ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r} = \frac{4\pi\times10^{-7} \times 10 \times 15}{2\pi \times 0.050} = 6.0\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1} \]

同向電流互相 吸引。

推薦影音

D3.1 運動電荷在磁場中的右手定則

簡述：Sirius Revision 依新大綱示範如何判斷運動電荷在磁場中的受力方向，包含正負電荷的差別，觀看次數很高。

D3.2 帶電粒子在磁場中的運動方程式

簡述：推導 \(r = mv / qB\) 與週期公式，並示範典型計算題，對應本頁「為什麼帶電粒子在磁場中做圓周運動」。

D3.3 平行導線之間的力

簡述：說明兩條平行導線為什麼同向相吸、反向相斥，並應用 \(F/L = \mu_0 I_1 I_2 / 2\pi r\)。

D3.4 荷質比

簡述：介紹速度選擇器與湯姆森測量電子荷質比的方法，結合電場與磁場的觀念。