建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

適用： HL 專屬目前為「只看 SL」模式，HL 延伸內容已隱藏。

A.5 伽利略與狹義相對論（HL）

伽利略與狹義相對論（Galilean and special relativity）討論「不同觀察者量到的時間與空間是否相同」。在日常速度下，伽利略相對論就足夠；但當速度接近光速時，必須改用愛因斯坦的狹義相對論，時間會變慢、長度會變短，同時發生的事件也不再「同時」。A.5 是 HL 專屬子題，計算本身不難，難在要放下日常直覺。

什麼是參考系？

參考系（reference frame） 是一組用來量測位置與時間的座標系統。慣性參考系（inertial frame） 是不加速的參考系，牛頓第一定律在其中成立。在慣性參考系中發生的一件事稱為 事件（event），用 \((x, t)\) 描述。

伽利略變換

若參考系 S′ 相對於 S 以速度 \(v\) 沿 \(x\) 方向移動，伽利略變換（Galilean transformation）為：

\[ x' = x - vt, \qquad t' = t, \qquad u' = u - v \]

這代表時間對所有觀察者都一樣，速度可以直接相加減。問題是，如果光也照這樣相加，不同觀察者量到的光速就會不同，這與實驗結果矛盾。

狹義相對論的兩個假設

愛因斯坦在 1905 年提出兩個 假設（postulates）：

物理定律在所有慣性參考系中都相同。
真空中的光速 \(c\) 對所有慣性觀察者都相同，與光源或觀察者的運動無關。

第二個假設直接推翻了「時間對所有人都一樣」的想法。

勞侖茲變換

取代伽利略變換的是 勞侖茲變換（Lorentz transformation），其中 勞侖茲因子（Lorentz factor）：

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \]

\[ x' = \gamma(x - vt), \qquad t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) \]

\(\gamma \ge 1\)；\(v\) 遠小於 \(c\) 時 \(\gamma \approx 1\)，勞侖茲變換就退化成伽利略變換。速度的相對論合成公式為：

\[ u' = \frac{u - v}{1 - \dfrac{uv}{c^2}} \]

代入 \(u = c\) 會得到 \(u' = c\)，符合光速不變的假設。

時間膨脹與長度收縮

時間膨脹（time dilation）

固有時間（proper time） \(\Delta t_0\) 是在事件發生處 相對靜止 的時鐘量到的時間間隔。其他相對運動的觀察者量到的時間比較長：

\[ \Delta t = \gamma\,\Delta t_0 \]

長度收縮（length contraction）

固有長度（proper length） \(L_0\) 是在物體靜止的參考系中量到的長度。相對運動的觀察者沿運動方向量到的長度比較短：

\[ L = \frac{L_0}{\gamma} \]

緲子實驗為什麼是證據？

緲子（muon）在大氣層上方約 10 km 處產生，靜止時的平均壽命只有約 2.2 μs，即使以接近光速飛行，依古典物理也只能飛約 660 m。但地面卻偵測到大量緲子。解釋是：從地面看，緲子的時間變慢（時間膨脹），壽命被拉長；從緲子的參考系看，大氣層的厚度被縮短（長度收縮）。兩種觀點得到相同的結論。

同時性的相對性與時空圖

同時性的相對性（relativity of simultaneity）：在一個參考系中同時、但發生在不同位置的兩事件，在另一個相對運動的參考系中不會同時。

時空圖（spacetime diagram） 以 \(x\) 為橫軸、\(ct\) 為縱軸。靜止物體的 世界線（worldline） 是鉛直線，光的世界線是 45° 斜線。移動參考系 S′ 的 \(ct'\) 軸與 \(ct\) 軸夾角 \(\theta\) 滿足 \(\tan\theta = \dfrac{v}{c}\)，\(x'\) 軸則往 45° 線靠近相同角度。

不變量（invariant）：所有慣性觀察者都量到相同數值的量，包括光速 \(c\)、固有時間、固有長度、靜止質量，以及 時空間隔（spacetime interval）：

\[ (\Delta s)^2 = (c\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 \]

練習題

先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。

練習 1：勞侖茲因子

太空船以 \(0.80c\) 飛行，求勞侖茲因子 \(\gamma\)。

解答

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.80^2}} = \frac{1}{0.60} \approx 1.67 \]

練習 2：緲子能飛多遠

緲子的固有平均壽命 2.2 μs，以 \(0.99c\) 飛向地面。求 (a) 地面觀察者量到的平均壽命、(b) 地面觀察者認為它平均能飛多遠。

解答

\(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0.99^2}} \approx 7.09\)

(a) \(\Delta t = \gamma \Delta t_0 = 7.09 \times 2.2\ \mu\text{s} \approx 15.6\ \mu\text{s}\)

(b) \(d = v\Delta t = 0.99 \times 3.00\times10^8 \times 15.6\times10^{-6} \approx 4.6\ \text{km}\)

若不考慮相對論只能飛約 650 m，這就是緲子實驗的重點。

練習 3：長度收縮

一艘固有長度 100 m 的太空船以 \(0.60c\) 經過地球。地球上的觀察者量到它多長？

解答

\(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0.36}} = 1.25\)，\(L = \dfrac{L_0}{\gamma} = \dfrac{100}{1.25} = 80\ \text{m}\)。

練習 4：相對論速度合成

太空船相對地球以 \(0.60c\) 飛行，向前發射一個相對太空船速度為 \(0.50c\) 的探測器。求探測器相對地球的速度。

解答

\[ u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'v}{c^2}} = \frac{0.50c + 0.60c}{1 + 0.30} \approx 0.85c \]

伽利略加法會得到 \(1.1c\)，超過光速，這是錯的。

練習 5：時空間隔

在參考系 S 中，兩事件相隔 \(\Delta t = 3.0\ \mu\text{s}\)、\(\Delta x = 600\ \text{m}\)。求兩事件的時空間隔，並求固有時間。

解答

\(c\Delta t = 3.00\times10^8 \times 3.0\times10^{-6} = 900\ \text{m}\)

\[ (\Delta s)^2 = 900^2 - 600^2 = 4.5\times10^5\ \text{m}^2 \Rightarrow \Delta s \approx 671\ \text{m} \]

\((\Delta s)^2 > 0\)，是類時（timelike）間隔，存在一個參考系讓兩事件發生在同一地點。固有時間 \(\Delta\tau = \dfrac{\Delta s}{c} \approx 2.2\ \mu\text{s}\)。