A.3 功、能量與功率
功、能量與功率（Work, energy and power）提供了解力學題的第二條路：不追蹤每個瞬間的力與加速度，而是比較「開始」與「結束」的能量。能量守恆是整個物理學最重要的原理之一，A.3 也會介紹功率、效率與能量密度，這些觀念在電路、熱學與核能中都會再用到。A.3 在 SL 與 HL 的內容相同。
功是怎麼定義的？
力對物體作的 功（work） 等於力乘以物體沿力方向的位移：
\(\theta\) 是力與位移的夾角，單位焦耳 J（1 J = 1 N m）。
- \(\theta = 0°\)：力與運動同方向，作正功，物體獲得能量。
- \(\theta = 90°\)：力垂直於運動（例如圓周運動的向心力），不作功。
- \(\theta = 180°\)：力與運動反方向（例如摩擦力），作負功，物體失去能量。
在力–位移圖中，曲線下面積就是功，這可以處理力不固定的情況，例如拉長彈簧。
有哪幾種機械能？
SL + HL 核心：三種機械能（data booklet 有給）
| 能量 | 公式 | 說明 |
|---|---|---|
| 動能（kinetic energy） | \(E_k = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{p^2}{2m}\) | 物體因運動具有的能量 |
| 重力位能變化（gravitational potential energy） | \(\Delta E_p = mg\Delta h\) | 適用於地表附近，\(g\) 近似固定 |
| 彈性位能（elastic potential energy） | \(E_H = \dfrac{1}{2}k(\Delta x)^2\) | 彈簧被拉長或壓縮 \(\Delta x\) |
能量守恆怎麼用在解題？
能量守恆定律（conservation of energy）：能量不會被創造或消滅，只會在不同形式之間轉換或在物體之間轉移。在沒有摩擦與空氣阻力時，機械能守恆：
例題：雲霄飛車從 30 m 高處由靜止滑下，忽略摩擦，求到達最低點的速率。
注意質量 \(m\) 被消去，所以答案與車廂質量無關。若有摩擦力，損失的機械能等於摩擦力作的功，最後變成內能（溫度上升）。
功–能定理（work–energy theorem）：合力對物體作的功等於物體動能的變化，\(W_{\text{net}} = \Delta E_k\)。
功率與效率
功率（power） 是能量轉換的速率，單位瓦特 W（1 W = 1 J s⁻¹）：
\(P = Fv\) 常用在車輛問題：汽車以等速行駛時，引擎的牽引力等於阻力，所需功率等於阻力乘以速率。
效率（efficiency） 是有用輸出與總輸入的比值：
效率永遠小於 1（100%），因為一部分能量一定會以熱的形式散失。桑基圖（Sankey diagram） 用箭頭寬度表示能量多寡，直觀呈現能量流向與損失。
什麼是能量密度？
能量密度（energy density） 是燃料每單位體積釋放的能量（J m⁻³）；比能（specific energy） 則是每單位質量釋放的能量（J kg⁻¹）。比較不同燃料時，這兩個量決定了燃料的實用性：汽油的比能遠高於電池，所以燃油車的續航力比電動車更容易做長；核燃料的比能又比化石燃料高出約百萬倍（見 E.4 核分裂）。
練習題
先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。
練習 1：斜向拉力作功
用 60 N、與水平夾 25° 的拉力，把雪橇沿水平地面拉動 5.0 m。求拉力作的功。
解答
只有沿位移方向的分量 \(F\cos\theta\) 作功。
練習 2：彈簧發射
彈簧常數 \(200\ \text{N m}^{-1}\) 的彈簧被壓縮 0.10 m，把 0.050 kg 的小球垂直向上發射。忽略空氣阻力，小球最高能升高多少？
解答
彈性位能全部轉成重力位能：
練習 3：馬達的效率
馬達以 \(0.40\ \text{m s}^{-1}\) 的等速把 50 kg 的貨物吊起，輸入電功率 300 W。求馬達的效率。
解答
有用輸出功率 \(P = Fv = mgv = 50 \times 9.8 \times 0.40 = 196\ \text{W}\)。
練習 4：汽車等速行駛的功率
汽車以 \(25\ \text{m s}^{-1}\) 等速行駛，所受的總阻力為 800 N。求引擎輸出的功率。
解答
等速代表牽引力等於阻力 800 N：
推薦影音
A3.1 功與能量
簡述：Sirius Revision 講解功的定義、三種機械能與能量守恆的解題流程，對應本頁前三節，是 A.3 最核心的一支影片。
A3.3 桑基圖與效率
簡述：約 6 分鐘說明如何讀懂與繪製桑基圖，並計算效率，對應本頁「功率與效率」一節，是 Paper 1 常見題型。
Work, Energy and Power（Revision Village）
簡述：Revision Village 以新大綱題型為主，快速整理功、能量、功率與效率的公式與解題技巧，適合考前複習。