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建立 2026-11-12 更新 2026-11-12

適用： SL HL （橘色 HL 區塊只有 HL 需要） 目前為「只看 SL」模式，HL 延伸內容已隱藏。

B.3 氣體定律

氣體定律（Gas laws）描述氣體的壓力、體積、溫度與粒子數之間的關係，並用氣體動力論（kinetic theory）從微觀解釋：氣體壓力來自分子撞擊容器壁，溫度則反映分子的平均動能。B.3 的理想氣體方程式是 HL B.4 熱力學 的基礎，SL 與 HL 的內容相同。

壓力與莫耳

壓力（pressure） 是垂直作用在單位面積上的力，\(p = \dfrac{F}{A}\)，單位帕斯卡 Pa（1 Pa = 1 N m⁻²）。標準大氣壓約 \(1.01 \times 10^5\) Pa。

莫耳（mole） 是物質的量的單位。1 mol 含有 \(N_A = 6.02 \times 10^{23}\) 個粒子（亞佛加厥常數，Avogadro constant）：

\[ n = \frac{N}{N_A} \]

莫耳質量（molar mass） 是 1 mol 物質的質量，例如氦約 4 g mol⁻¹。

理想氣體方程式

SL + HL 核心：理想氣體方程式（data booklet 有給）

\[ pV = nRT = Nk_BT \]
  • \(R = 8.31\ \text{J K}^{-1}\ \text{mol}^{-1}\)：氣體常數（gas constant）
  • \(k_B = \dfrac{R}{N_A} = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J K}^{-1}\)：波茲曼常數（Boltzmann constant）
  • \(T\) 一定要用克耳文。

當氣體的量固定時，可以寫成 \(\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}\)，包含三個特例：

定律 固定的量 關係
波以耳定律（Boyle's law） 溫度 \(p \propto \dfrac{1}{V}\)
查理定律（Charles's law） 壓力 \(V \propto T\)
給呂薩克定律（Gay-Lussac's law） 體積 \(p \propto T\)

例題：一個 0.020 m³ 的鋼瓶裝著 27 °C、\(2.0 \times 10^5\) Pa 的氣體，加熱到 127 °C 後壓力是多少？體積固定，\(p_2 = p_1\dfrac{T_2}{T_1} = 2.0\times10^5 \times \dfrac{400}{300} \approx 2.7 \times 10^5\ \text{Pa}\)。

氣體動力論怎麼解釋壓力與溫度？

氣體動力論的 理想氣體假設：

  1. 分子本身的體積相對於容器可以忽略。
  2. 分子之間除了碰撞以外沒有作用力（所以沒有位能）。
  3. 分子之間、分子與容器壁的碰撞都是彈性碰撞。
  4. 碰撞時間遠短於碰撞之間的時間。
  5. 分子做隨機運動，數量非常多。

由這些假設可以推導出壓力與分子平均速率的關係：

\[ p = \frac{1}{3}\rho \overline{v^2} \]

\(\overline{v^2}\) 是分子速率平方的平均值。與理想氣體方程式比較，得到 單一分子的平均動能：

\[ \overline{E_k} = \frac{3}{2}k_B T = \frac{3}{2}\frac{R}{N_A}T \]

所以 絕對溫度正比於分子的平均動能。理想單原子氣體沒有分子間位能，內能就是所有分子動能的總和：

\[ U = \frac{3}{2}Nk_BT = \frac{3}{2}nRT \]

真實氣體什麼時候不像理想氣體？

在 高壓（分子靠得很近，分子體積不能忽略）與 低溫（分子速度慢，分子間吸引力變得重要，甚至液化）時，真實氣體會偏離理想氣體方程式。在常溫常壓下，空氣、氦、氮等氣體都很接近理想氣體。

練習題

先自己動手算，再點開「解答」核對。除非題目另外說明，取 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)，常數以 data booklet 的數值為準。

練習 1：一個氣球裡有多少分子

體積 0.024 m³ 的氣球，裡面氣體的壓力 \(1.0\times10^5\) Pa、溫度 20 °C。求氣體的莫耳數與分子數。

解答

\(T = 293\ \text{K}\)

\[ n = \frac{pV}{RT} = \frac{1.0\times10^5 \times 0.024}{8.31 \times 293} \approx 0.99\ \text{mol} \]

\(N = nN_A \approx 0.99 \times 6.02\times10^{23} \approx 5.9\times10^{23}\) 個分子。

練習 2：等溫壓縮

打氣筒內有 2.0 L、\(1.0\times10^5\) Pa 的空氣，在溫度不變下壓縮成 0.80 L。求壓縮後的壓力。

解答

波以耳定律：\(p_2 = p_1\dfrac{V_1}{V_2} = 1.0\times10^5 \times \dfrac{2.0}{0.80} = 2.5\times10^5\ \text{Pa}\)。

公式中的體積只要單位一致，用公升也可以。

練習 3：氦原子的平均動能與速率

求 300 K 時氦原子的平均動能，以及對應的方均根速率（氦原子質量 \(6.64\times10^{-27}\) kg）。

解答
\[ \overline{E_k} = \frac{3}{2}k_BT = \frac{3}{2} \times 1.38\times10^{-23} \times 300 \approx 6.2\times10^{-21}\ \text{J} \]
\[ v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{2\overline{E_k}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 6.21\times10^{-21}}{6.64\times10^{-27}}} \approx 1.4\times10^3\ \text{m s}^{-1} \]

練習 4：理想氣體的內能

2.0 mol 的理想單原子氣體在 300 K 時，內能是多少？

解答
\[ U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2} \times 2.0 \times 8.31 \times 300 \approx 7.5\times10^3\ \text{J} \]

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