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建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

等價表示法

同一個多項式或有理函數可以寫成不同但等價的形式，例如標準式、因式分解式、商加餘式。本頁對應 CED 主題 1.11，說明各種形式分別「容易看出什麼」，並練習兩個工具：多項式長除法（polynomial long division）與二項式定理（Binomial Theorem）。

不同形式各有什麼用？

形式 例子 容易看出
標準式 \(x^2-x-6\) 端點行為、y 截距 \(-6\)
因式分解式 \((x-3)(x+2)\) 零點 \(3\)、\(-2\)
頂點式 \(\left(x-\tfrac12\right)^2-\tfrac{25}{4}\) 頂點、最小值
商加餘式 \(\dfrac{x^2+1}{x-1}=x+1+\dfrac{2}{x-1}\) 斜漸近線 \(y=x+1\)

多項式長除法

除法定理：\(p(x)=q(x)\cdot d(x)+r(x)\)，餘式 \(r(x)\) 的次數小於除式 \(d(x)\)。

例題：\((2x^3+3x^2-5x+1)\div(x+2)\)

  1. \(2x^3\div x=2x^2\)，乘回 \(2x^3+4x^2\)，相減得 \(-x^2-5x\)。
  2. \(-x^2\div x=-x\)，乘回 \(-x^2-2x\)，相減得 \(-3x+1\)。
  3. \(-3x\div x=-3\)，乘回 \(-3x-6\)，相減得餘數 \(7\)。

所以 \(\dfrac{2x^3+3x^2-5x+1}{x+2}=2x^2-x-3+\dfrac{7}{x+2}\)。

斜漸近線

當分子次數比分母多 1 時，長除法的商（一次式）就是斜漸近線。例如 \(\dfrac{x^2+1}{x-1}\) 的斜漸近線是 \(y=x+1\)。

二項式定理與巴斯卡三角形

\((a+b)^n\) 展開後各項係數就是巴斯卡三角形（Pascal's triangle）第 \(n\) 列：

n=0:        1
n=1:       1 1
n=2:      1 2 1
n=3:     1 3 3 1
n=4:    1 4 6 4 1
\[ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k} \]

例題：\((x+2)^3=x^3+3x^2(2)+3x(2)^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8\)。

練習題

1. 用長除法計算 \((x^3-2x^2+4)\div(x-3)\)。

解答

\(x^3\div x=x^2\)，減去 \(x^3-3x^2\) 得 \(x^2+0x\)；\(x^2\div x=x\)，減去 \(x^2-3x\) 得 \(3x+4\)；\(3x\div x=3\)，減去 \(3x-9\) 得 \(13\)。 結果：\(x^2+x+3+\dfrac{13}{x-3}\)。

2. 求 \(r(x)=\dfrac{2x^2-3x+1}{x+1}\) 的斜漸近線。

解答

\(2x^2\div x=2x\)，減去 \(2x^2+2x\) 得 \(-5x+1\)；\(-5x\div x=-5\)，減去 \(-5x-5\) 得 \(6\)。 \(r(x)=2x-5+\dfrac{6}{x+1}\)，斜漸近線 \(y=2x-5\)。

3. 展開 \((x-1)^4\)。

解答

係數 \(1,4,6,4,1\)，搭配 \((-1)^k\)：\(x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)。

4. \((2x+3)^5\) 展開後，\(x^3\) 項的係數是多少？

解答

\(x^3\) 項為 \(\binom{5}{2}(2x)^3(3)^2=10\cdot 8x^3\cdot 9=720x^3\)，係數 \(720\)。

5. 已知 \(x=2\) 是 \(p(x)=x^3-7x+6\) 的零點，將 \(p(x)\) 完全因式分解。

解答

\(p(x)\div(x-2)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\)，所以 \(p(x)=(x-2)(x+3)(x-1)\)。

推薦影音

1.11A Equivalent Expressions and Binomial Theorem

簡述：The Algebros 講解多項式的各種等價形式，以及如何用巴斯卡三角形與二項式定理快速展開。

1.11B Long Division and Slant Asymptotes

簡述：示範多項式長除法的完整步驟，並用商求出有理函數的斜漸近線，對應本頁練習題 1、2。