週期現象與單位圓
週期函數（periodic function）是每隔固定長度就重複的函數，例如潮汐、季節溫度與摩天輪高度。描述週期現象最重要的工具是單位圓（unit circle）：半徑為 1 的圓上，角度 \(\theta\) 對應的點座標就是 \((\cos\theta, \sin\theta)\)。本頁對應 CED 主題 3.1–3.3，說明週期的意義、弧度制，以及正弦、餘弦、正切的定義與特殊角的值。
什麼是週期函數？
若存在最小正數 \(k\)，使得對所有 \(x\) 都有 \(f(x+k)=f(x)\)，則 \(f\) 是週期函數，\(k\) 稱為週期（period）。週期函數在一個週期內的行為（遞增、遞減、凹向）會不斷重複。
弧度（Radian）
弧度是以「弧長 ÷ 半徑」衡量角度的單位。一整圈的弧長是 \(2\pi r\)，所以：
角度以標準位置（standard position）畫：頂點在原點、始邊在正 x 軸，逆時針為正。
正弦、餘弦、正切的定義
在半徑 \(r\) 的圓上，角 \(\theta\) 終邊與圓交於 \((x,y)\)：
在單位圓（\(r=1\)）上，點就是 \((\cos\theta,\sin\theta)\)，而 \(\tan\theta\) 是終邊的斜率。
特殊角的值
| \(\theta\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin\theta\) | \(0\) | \(\dfrac12\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos\theta\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac12\) | \(0\) |
| \(\tan\theta\) | \(0\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | 無定義 |
其他象限的值用參考角（reference angle）加上正負號：
| 象限 | I | II | III | IV |
|---|---|---|---|---|
| 正值 | 全部 | \(\sin\) | \(\tan\) | \(\cos\) |
例題：\(\cos\dfrac{2\pi}{3}\)：參考角 \(\dfrac{\pi}{3}\)，第二象限 \(\cos\) 為負，所以 \(=-\dfrac12\)。
練習題
1. 把 \(150^\circ\) 與 \(-45^\circ\) 換成弧度；把 \(\dfrac{5\pi}{4}\) 換成度數。
解答
\(150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}\)；\(-45^\circ=-\dfrac{\pi}{4}\)；\(\dfrac{5\pi}{4}=225^\circ\)。
2. 求 \(\sin\dfrac{7\pi}{6}\)、\(\cos\dfrac{7\pi}{6}\)、\(\tan\dfrac{7\pi}{6}\)。
解答
參考角 \(\dfrac{\pi}{6}\)，第三象限：\(\sin=-\dfrac12\)、\(\cos=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)、\(\tan=\dfrac{\sqrt3}{3}\)。
3. 角 \(\theta\) 的終邊通過點 \((-3, 4)\)，求 \(\sin\theta\)、\(\cos\theta\)、\(\tan\theta\)。
解答
\(r=\sqrt{9+16}=5\)。\(\sin\theta=\dfrac45\)、\(\cos\theta=-\dfrac35\)、\(\tan\theta=-\dfrac43\)。
4. 求 \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) 與 \(\cos\dfrac{11\pi}{4}\)。
解答
\(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)。 \(\dfrac{11\pi}{4}-2\pi=\dfrac{3\pi}{4}\)，第二象限：\(\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\)。
5. 某函數週期為 6，已知 \(f(2)=5\)，求 \(f(20)\) 與 \(f(-4)\)。
解答
\(20=2+3\cdot 6\)，\(f(20)=5\)；\(-4=2-6\)，\(f(-4)=5\)。
6. 半徑 10 公分的圓上，圓心角 \(\dfrac{\pi}{5}\) 對應的弧長是多少？
解答
弧長 \(=r\theta=10\cdot\dfrac{\pi}{5}=2\pi\approx 6.283\) 公分。
推薦影音
3.1 Periodic Phenomena
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3.3A Sine and Cosine Function Values
簡述：用單位圓與參考角求各象限的三角函數值，對應本頁練習題 2–4。
單位圓入門
簡述：The Organic Chemistry Tutor 從頭推導單位圓上特殊角的座標，適合需要把單位圓背熟的同學。