對數與對數函數
對數（logarithm）回答的問題是「底數要幾次方才會得到這個數？」：\(\log_b c=a\) 等價於 \(b^a=c\)。因此對數函數 \(f(x)=\log_b x\) 正是指數函數 \(b^x\) 的反函數。本頁對應 CED 主題 2.9–2.12：對數的定義與計算、對數函數的圖形，以及三大對數律。
對數的定義
- \(\log_2 8=3\)，因為 \(2^3=8\)。
- \(\log_{10}0.01=-2\)，因為 \(10^{-2}=0.01\)。
- 常用對數（common log）：\(\log x=\log_{10}x\)。
- 自然對數（natural log）：\(\ln x=\log_e x\)。
對數是指數的反函數
因為 \(f(x)=b^x\) 與 \(g(x)=\log_b x\) 互為反函數：
對數函數的圖形
以 \(f(x)=\log_b x\)、\(b>1\) 為例：
| 性質 | 內容 |
|---|---|
| 定義域 | \(x>0\) |
| 值域 | 所有實數 |
| 零點 | \(x=1\)（因為 \(\log_b 1=0\)） |
| 垂直漸近線 | \(x=0\)；\(x\to 0^+\) 時 \(f(x)\to-\infty\) |
| 單調性與凹向 | 遞增、向下凹 |
若 \(0<b<1\)，則遞減、向上凹。對數函數成長非常慢：輸入乘 \(b\) 時，輸出只加 1。
三大對數律
| 名稱 | 規則 | 例子 |
|---|---|---|
| 乘法律 | \(\log_b(mn)=\log_b m+\log_b n\) | \(\log 20=\log 2+\log 10\) |
| 除法律 | \(\log_b\dfrac{m}{n}=\log_b m-\log_b n\) | \(\ln\dfrac{x}{3}=\ln x-\ln 3\) |
| 次方律 | \(\log_b(m^k)=k\log_b m\) | \(\log_2 x^5=5\log_2 x\) |
| 換底公式 | \(\log_b x=\dfrac{\ln x}{\ln b}\) | \(\log_3 10=\dfrac{\ln 10}{\ln 3}\) |
常見錯誤
\(\log(m+n)\neq\log m+\log n\)；\((\log m)^2\neq 2\log m\)。
另外，\(\log_b(kx)=\log_b k+\log_b x\) 說明：對數函數的水平伸縮等於垂直平移。
練習題
1. 不用計算機求值：(a) \(\log_3 81\) (b) \(\log_5 \tfrac{1}{25}\) (c) \(\ln e^7\) (d) \(\log_4 2\)
解答
(a) \(4\) (b) \(-2\) (c) \(7\) (d) \(\tfrac12\)（因為 \(4^{1/2}=2\)）
2. 把 \(\log_2 x=5\) 改寫成指數形式並求 \(x\)。
解答
\(2^5=x\)，\(x=32\)。
3. 把 \(2\ln x+\ln(x+1)-\ln 3\) 寫成單一對數。
解答
\(\ln x^2+\ln(x+1)-\ln 3=\ln\dfrac{x^2(x+1)}{3}\)。
4. 展開 \(\log\dfrac{100x^3}{\sqrt{y}}\)。
解答
\(\log 100+3\log x-\tfrac12\log y=2+3\log x-\tfrac12\log y\)。
5. 求 \(f(x)=\log_2(x-3)+1\) 的定義域、垂直漸近線與 x 截距。
解答
定義域 \(x>3\)；垂直漸近線 \(x=3\)。 \(\log_2(x-3)=-1\)，\(x-3=\tfrac12\)，x 截距 \(\left(\tfrac72, 0\right)\)。
6. 求 \(f(x)=3^x\) 的反函數，並說明它的定義域。
解答
\(f^{-1}(x)=\log_3 x\)，定義域 \(x>0\)（等於 \(3^x\) 的值域）。
7. 用換底公式求 \(\log_7 50\)（保留三位小數）。
解答
\(\dfrac{\ln 50}{\ln 7}\approx\dfrac{3.912}{1.946}\approx 2.010\)。
推薦影音
2.9 Logarithmic Expressions
簡述：The Algebros 從「幾次方」的問題引入對數，練習在指數式與對數式之間轉換，對應本頁練習題 1、2。
2.10 對數是指數的反函數（三分鐘版）
簡述：Maximum Insight 用不到兩分鐘說明為什麼 \(\log_b x\) 是 \(b^x\) 的反函數，以及兩者圖形的關係。
2.11 Logarithmic Functions
簡述：介紹對數函數的定義域、垂直漸近線、單調性與凹向，以及圖形的變換，對應本頁練習題 5。
2.12 Logarithmic Function Manipulation
簡述：完整練習乘法律、除法律、次方律與換底公式，是 FRQ 第 4 題改寫對數式的必備技巧。