變化率與凹向
變化率（rate of change）描述「輸入改變一單位時，輸出平均改變多少」，是 AP Precalculus 全課程最核心的觀念。本頁對應 CED 主題 1.1–1.4：兩量如何一起變化、平均變化率的計算、遞增遞減與凹向（concavity）的判斷，以及一次、二次與多項式函數各自的變化率特徵。
兩個量如何一起變化？（Change in Tandem）
函數 \(f\) 把每個輸入值 \(x\) 對應到唯一一個輸出值 \(f(x)\)。觀察函數時，重點是「\(x\) 增加時，\(f(x)\) 怎麼變」：
| 名稱 | 意義 | 圖形 |
|---|---|---|
| 遞增（increasing） | \(x\) 變大，\(f(x)\) 也變大 | 由左往右上升 |
| 遞減（decreasing） | \(x\) 變大，\(f(x)\) 變小 | 由左往右下降 |
| 向上凹（concave up） | 變化率越來越大 | 像碗口朝上 \(\cup\) |
| 向下凹（concave down） | 變化率越來越小 | 像碗口朝下 \(\cap\) |
函數由遞增轉為遞減的點是相對極大值（relative maximum）；由遞減轉為遞增的點是相對極小值（relative minimum）。凹向改變的點稱為反曲點（point of inflection）。
平均變化率怎麼算？
函數 \(f\) 在區間 \([a,b]\) 的平均變化率（average rate of change, AROC）就是兩端點連線（割線，secant line）的斜率：
例題：\(f(x)=x^2\) 在 \([1,4]\) 的平均變化率為 \(\dfrac{16-1}{4-1}=5\)。意思是：\(x\) 從 1 到 4，每增加 1，\(f(x)\) 平均增加 5。
瞬時變化率
把區間縮得越來越小，平均變化率會趨近某一點的瞬時變化率（instantaneous rate of change），也就是切線斜率。AP Precalculus 只要求你用很小的區間去估計它，真正的計算留到微積分。
用變化率判斷凹向
取幾段等長的連續區間計算平均變化率：
- 平均變化率越來越大 → 向上凹。
- 平均變化率越來越小 → 向下凹。
這也是 FRQ 第 1 題最常要你「說明理由」的方式。
一次與二次函數的變化率有什麼特徵？
| 函數類型 | 等長區間的平均變化率 | 凹向 |
|---|---|---|
| 一次函數 \(f(x)=mx+b\) | 永遠等於 \(m\)（常數） | 無 |
| 二次函數 \(f(x)=ax^2+bx+c\) | 每段的變化率呈等差變化 | \(a>0\) 向上凹；\(a<0\) 向下凹 |
從表格判斷：若 \(x\) 等距時，\(f(x)\) 的一階差相同，是一次函數；二階差相同，是二次函數。
多項式函數與變化率
\(n\) 次多項式最多有 \(n-1\) 個相對極值點、最多 \(n-2\) 個反曲點。在相對極值點兩側，變化率由正變負（極大）或由負變正（極小）；在全域最大／最小值（global max/min）處，函數值是整個定義域中最大或最小的。
練習題
1. 求 \(f(x)=x^3-2x\) 在 \([-1,2]\) 的平均變化率。
解答
\(f(2)=8-4=4\)，\(f(-1)=-1+2=1\)。平均變化率 \(=\dfrac{4-1}{2-(-1)}=1\)。
2. 某車的位置 \(s(t)\)（公里）：\(s(0)=0\)、\(s(2)=150\)。這兩小時的平均速度是多少？單位是什麼？
解答
\(\dfrac{150-0}{2-0}=75\) 公里／小時。平均變化率的單位是「輸出單位／輸入單位」。
3. 判斷下表是一次、二次或兩者皆非：
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 3 | 5 | 11 | 21 | 35 |
解答
一階差：\(2, 6, 10, 14\)（不同）；二階差：\(4, 4, 4\)（相同），所以是二次函數。 （其實 \(g(x)=2x^2+3\)。）
4. 承上題，\(g\) 在 \([0,4]\) 上是向上凹還是向下凹？用平均變化率說明。
解答
每段等長區間的平均變化率 \(2, 6, 10, 14\) 持續增加，所以向上凹。
5. \(h(x)=-x^2+6x\)。在哪個區間遞增？最大值是多少？
解答
頂點 \(x=-\dfrac{6}{2(-1)}=3\)，\(h(3)=9\)。開口向下，所以在 \((-\infty,3)\) 遞增、\((3,\infty)\) 遞減，最大值 \(9\)。
6. 用區間 \([2, 2.01]\) 估計 \(f(x)=x^2\) 在 \(x=2\) 的瞬時變化率。
解答
\(\dfrac{(2.01)^2-4}{0.01}=\dfrac{4.0401-4}{0.01}=4.01\)，所以瞬時變化率約為 \(4\)。
推薦影音
1.1 Change in Tandem
簡述：The Algebros 介紹如何從圖形描述兩量一起變化、遞增遞減與凹向，是整門課的第一課。
1.2 Rates of Change
簡述：說明平均變化率的公式、單位與意義，並用很小的區間估計瞬時變化率，對應本頁練習題 1、2、6。
1.3 Rates of Change in Linear and Quadratic Functions
簡述：用一階差、二階差判斷一次與二次函數，並連結到凹向，對應本頁練習題 3、4。
1.4 Polynomial Functions and Rates of Change
簡述：介紹多項式的相對與全域極值、反曲點，以及它們和變化率正負號的關係。