指數與對數方程式
解指數方程式的關鍵是「取對數把指數拿下來」，解對數方程式的關鍵是「改寫成指數形式把對數去掉」。本頁對應 CED 主題 2.13，整理兩類方程式與不等式的解法，以及最重要的提醒：對數方程式的解一定要回頭檢查定義域。這是 FRQ 第 4 題的必考內容。
解指數方程式
方法一：化成同底數
\(4^{x+1}=8^{x}\) → \(2^{2x+2}=2^{3x}\) → \(2x+2=3x\) → \(x=2\)。
方法二：兩邊取對數
\(5\cdot 3^x=40\) → \(3^x=8\) → \(x=\log_3 8=\dfrac{\ln 8}{\ln 3}\approx 1.893\)。
解對數方程式
單一對數 = 常數：改寫成指數式。
\(\log_2(x+3)=4\) → \(x+3=2^4\) → \(x=13\)。
多個對數：先用對數律合併，再改寫。
\(\log x+\log(x-3)=1\) → \(\log\big(x(x-3)\big)=1\) → \(x^2-3x=10\) → \((x-5)(x+2)=0\)。
\(x=-2\) 使 \(\log x\) 無定義，捨去，答案 \(x=5\)。
一定要檢查
對數的真數必須為正。合併對數後解出來的 \(x\)，要代回原式檢查每一個對數是否有定義，不合的叫做外來解（extraneous solution）。
不等式
指數與對數函數都是單調函數，所以可以兩邊同取對數或指數，但要注意方向：
- 底數 \(b>1\)：函數遞增，不等號方向不變。
- 底數 \(0<b<1\)：函數遞減，不等號方向反轉。
例題：\(\left(\tfrac12\right)^x>8\) → \(2^{-x}>2^3\) → \(-x>3\) → \(x<-3\)。
對數不等式還要加上定義域條件：\(\ln(x-1)<2\) → \(0<x-1<e^2\) → \(1<x<1+e^2\)。
練習題
1. 解 \(9^{x}=27^{x-1}\)。
解答
\(3^{2x}=3^{3x-3}\)，\(2x=3x-3\)，\(x=3\)。
2. 解 \(2e^{3x}-5=11\)（寫出精確值）。
解答
\(e^{3x}=8\)，\(3x=\ln 8\)，\(x=\dfrac{\ln 8}{3}=\ln 2\)。
3. 解 \(\log_3(2x-1)=2\)。
解答
\(2x-1=9\)，\(x=5\)。
4. 解 \(\ln(x+2)-\ln x=\ln 3\)。
解答
\(\ln\dfrac{x+2}{x}=\ln 3\)，\(x+2=3x\)，\(x=1\)。檢查：\(\ln 3-\ln 1=\ln 3\) ✓。
5. 解 \(\log_2 x+\log_2(x+2)=3\)。
解答
\(x(x+2)=8\)，\(x^2+2x-8=0\)，\((x+4)(x-2)=0\)。\(x=-4\) 不合，\(x=2\)。
6. 解不等式 \(3^{x-2}\le 27\)。
解答
\(3^{x-2}\le 3^3\)，底數大於 1，方向不變：\(x-2\le 3\)，\(x\le 5\)。
7. 投資 5,000 元，年利率 4% 連續複利，幾年後會超過 8,000 元？
解答
\(5000e^{0.04t}>8000\) → \(e^{0.04t}>1.6\) → \(t>\dfrac{\ln 1.6}{0.04}\approx 11.750\) 年。
推薦影音
2.13A Logarithmic and Exponential Equations and Inequalities
簡述：The Algebros 示範同底數法、取對數法解指數方程式，以及合併對數後改寫成指數式的解法。
2.13B Logarithmic and Exponential Equations and Inequalities
簡述：延續上集，加入外來解的檢查與不等式的處理，特別說明底數小於 1 時不等號方向要反轉。