指數函數
指數函數（exponential function）的一般形式是 \(f(x)=ab^x\)，其中初始值 \(a\neq 0\)、底數 \(b>0\) 且 \(b\neq 1\)。本頁對應 CED 主題 2.3–2.4：指數函數的圖形性質（遞增或遞減、凹向、水平漸近線），以及如何用指數律把式子改寫成等價形式。
指數函數的圖形性質
以 \(a>0\) 為例：
| \(b>1\)（指數成長） | \(0<b<1\)（指數衰減） | |
|---|---|---|
| 單調性 | 遞增 | 遞減 |
| 凹向 | 向上凹 | 向上凹 |
| 端點行為 | \(x\to\infty\) 時 \(f\to\infty\)；\(x\to-\infty\) 時 \(f\to 0\) | \(x\to\infty\) 時 \(f\to 0\)；\(x\to-\infty\) 時 \(f\to\infty\) |
| 水平漸近線 | \(y=0\) | \(y=0\) |
| y 截距 | \((0,a)\) | \((0,a)\) |
指數函數沒有零點、沒有極值、也沒有反曲點。若 \(a<0\)，圖形對 x 軸鏡射，變成向下凹。
指數律與等價改寫
| 規則 | 式子 | 應用 |
|---|---|---|
| 乘法 | \(b^m\cdot b^n=b^{m+n}\) | \(2^{x+3}=8\cdot 2^x\)：水平平移 = 垂直伸縮 |
| 次方 | \((b^m)^n=b^{mn}\) | \(4^x=(2^2)^x=2^{2x}\) |
| 負指數 | \(b^{-n}=\dfrac{1}{b^n}\) | \(\left(\tfrac12\right)^x=2^{-x}\) |
| 分數指數 | \(b^{1/n}=\sqrt[n]{b}\) | \(8^{1/3}=2\) |
自然底數 e
\(e\approx 2.718\) 是一個特別的底數，常用來描述連續成長，例如連續複利 \(A=Pe^{rt}\)。
改變成長週期
月成長率改寫成年成長率：若 \(f(t)=100(1.02)^{t}\)（\(t\) 為月），則 \(f(t)=100\big((1.02)^{12}\big)^{t/12}\approx 100(1.268)^{t/12}\)，代表每 12 個月成長約 26.8%。
練習題
1. \(f(x)=5\left(\tfrac{2}{3}\right)^x\) 是成長還是衰減？寫出 y 截距與水平漸近線。
解答
\(0<\tfrac23<1\)，衰減。y 截距 \((0,5)\)，水平漸近線 \(y=0\)。
2. 把 \(g(x)=3^{x+2}\) 改寫成 \(ab^x\) 的形式。
解答
\(3^{x+2}=3^2\cdot 3^x=9\cdot 3^x\)，\(a=9\)、\(b=3\)。
3. 把 \(h(x)=8^{x/3}\) 改寫成底數為 2 的形式並化簡。
解答
\(8^{x/3}=(2^3)^{x/3}=2^x\)。
4. 化簡 \(\dfrac{4^{x}\cdot 2^{3}}{2^{x}}\)。
解答
\(4^x=2^{2x}\)，所以原式 \(=2^{2x+3-x}=2^{x+3}\)（也可寫成 \(8\cdot 2^x\)）。
5. 某細菌數量每 3 小時加倍，初始 200 個。寫出 \(t\) 小時後的數量，並改寫成 \(a\cdot b^t\) 的形式（\(b\) 保留三位小數）。
解答
\(N(t)=200\cdot 2^{t/3}=200\big(2^{1/3}\big)^t\approx 200(1.260)^t\)。
推薦影音
2.3 Exponential Functions
簡述：The Algebros 介紹指數函數的圖形、單調性、凹向與漸近線，以及 \(a\)、\(b\) 參數的意義。
2.4 Exponential Function Manipulation
簡述：示範用指數律改寫式子，並說明「水平平移等於垂直伸縮」這個 AP 常考觀念，對應本頁練習題 2–4。