正弦型函數
正弦型函數（sinusoidal function）是由 \(\sin x\) 或 \(\cos x\) 經過平移、伸縮得到的函數，一般形式為 \(f(\theta)=a\sin\big(b(\theta+c)\big)+d\)。它是描述週期現象最常用的模型。本頁對應 CED 主題 3.4–3.7：\(\sin\) 與 \(\cos\) 的圖形、四個參數（振幅、週期、相位、中線）的意義，以及如何從情境或資料建立正弦型模型——也就是 FRQ 第 3 題的核心。
sin 與 cos 的基本圖形
| \(y=\sin\theta\) | \(y=\cos\theta\) | |
|---|---|---|
| 週期 | \(2\pi\) | \(2\pi\) |
| 值域 | \([-1,1]\) | \([-1,1]\) |
| \(\theta=0\) 時 | \(0\)（在中線上、往上走） | \(1\)（在最高點） |
| 對稱 | 奇函數 | 偶函數 |
| 零點 | \(\theta=k\pi\) | \(\theta=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) |
兩者形狀相同，只差一個水平平移：\(\cos\theta=\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)\)。
四個參數代表什麼？
對 \(f(\theta)=a\sin\big(b(\theta+c)\big)+d\)：
| 參數 | 名稱 | 計算 |
|---|---|---|
| \(\lvert a\rvert\) | 振幅（amplitude） | \(\dfrac{\text{最大值}-\text{最小值}}{2}\) |
| \(b\) | 決定週期 | 週期 \(=\dfrac{2\pi}{\lvert b\rvert}\) |
| \(c\) | 相位平移（phase shift） | 圖形左移 \(c\)（\(c<0\) 則右移） |
| \(d\) | 中線（midline） | \(y=\dfrac{\text{最大值}+\text{最小值}}{2}\) |
例題：\(f(\theta)=3\sin\big(2(\theta-\tfrac{\pi}{4})\big)+1\)：振幅 3、週期 \(\pi\)、右移 \(\dfrac{\pi}{4}\)、中線 \(y=1\)、最大值 4、最小值 \(-2\)。
從情境建立模型的步驟
- 由最大、最小值求振幅 \(a\) 與中線 \(d\)。
- 由週期求 \(b=\dfrac{2\pi}{\text{週期}}\)。
- 看 \(t=0\) 時的位置選擇基本形狀：
| \(t=0\) 時位置 | 使用 |
|---|---|
| 最高點 | \(a\cos(bt)+d\) |
| 最低點 | \(-a\cos(bt)+d\) |
| 中線、往上 | \(a\sin(bt)+d\) |
| 中線、往下 | \(-a\sin(bt)+d\) |
| 其他位置 | 加上相位平移 \(c\) |
例題：某地全年最高溫 30°C 出現在第 7 個月，最低溫 10°C。以月份 \(t\) 建模：\(a=10\)、\(d=20\)、週期 12，\(b=\dfrac{\pi}{6}\)，最高點在 \(t=7\)，所以 \(T(t)=10\cos\left(\dfrac{\pi}{6}(t-7)\right)+20\)。
練習題
1. 求 \(g(x)=-4\cos(3x)+2\) 的振幅、週期、中線、最大值與最小值。
解答
振幅 4、週期 \(\dfrac{2\pi}{3}\)、中線 \(y=2\)、最大值 6、最小值 \(-2\)。
2. 正弦型函數最大值 15、最小值 3、週期 8。寫出振幅、中線與 \(b\)。
解答
振幅 \(\dfrac{15-3}{2}=6\)；中線 \(y=\dfrac{15+3}{2}=9\)；\(b=\dfrac{2\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}\)。
3. 寫出 \(f(x)=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)\) 的相位平移（提示：先把 \(b\) 提出來）。
解答
\(2x+\dfrac{\pi}{2}=2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)，所以左移 \(\dfrac{\pi}{4}\)。
4. 彈簧從最高點 12 公分處放開，最低點 4 公分，每 2 秒來回一次。寫出高度 \(h(t)\)。
解答
\(a=4\)、\(d=8\)、\(b=\dfrac{2\pi}{2}=\pi\)，從最高點出發：\(h(t)=4\cos(\pi t)+8\)。
5. 承第 4 題，在 \(0<t<1\) 時，\(h\) 遞增還是遞減？凹向如何？
解答
從最高點 \(t=0\) 到最低點 \(t=1\)，\(h\) 遞減。 \(0<t<\tfrac12\) 在中線上方，向下凹；\(\tfrac12<t<1\) 在中線下方，向上凹。
6. 潮水高度在早上 6 點最低 1 公尺、中午 12 點最高 5 公尺。以早上 6 點為 \(t=0\)（小時），寫出模型。
解答
最低到最高是半週期 6 小時，週期 12，\(b=\dfrac{\pi}{6}\)。\(a=2\)、\(d=3\)，從最低點出發：\(H(t)=-2\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)+3\)。
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