函數變換
函數變換（transformations of functions）是把已知函數 \(f(x)\) 的圖形平移、伸縮或鏡射，得到新函數 \(g(x)=a\,f\big(b(x-h)\big)+k\)。本頁對應 CED 主題 1.12。學會變換之後，任何函數家族只要記住「母函數」的形狀，就能畫出整族函數的圖形——Unit 2 的指數、對數與 Unit 3 的正弦型函數都會用到。
四種基本變換
| 式子 | 效果 | 記憶口訣 |
|---|---|---|
| \(f(x)+k\) | 上移 \(k\)（\(k<0\) 下移） | 括號外：照字面方向 |
| \(f(x-h)\) | 右移 \(h\)（\(h<0\) 左移） | 括號內：方向相反 |
| \(a\,f(x)\) | 垂直伸縮 \(\lvert a\rvert\) 倍；\(a<0\) 再對 x 軸鏡射 | 改變輸出 |
| \(f(bx)\) | 水平伸縮 \(\dfrac{1}{\lvert b\rvert}\) 倍；\(b<0\) 再對 y 軸鏡射 | 改變輸入，效果「反過來」 |
水平變換最容易錯
\(f(2x)\) 是把圖形水平壓縮成一半寬，不是拉長兩倍；\(f(x+3)\) 是左移 3，不是右移。
變換的順序
對 \(g(x)=a\,f\big(b(x-h)\big)+k\)，可以依下列順序處理：
- 水平伸縮／鏡射（\(b\)）
- 水平平移（\(h\)）
- 垂直伸縮／鏡射（\(a\)）
- 垂直平移（\(k\)）
例題：\(f(x)=x^2\)，\(g(x)=-2(x-1)^2+3\)。圖形是開口向下、比 \(x^2\) 窄的拋物線，頂點從 \((0,0)\) 移到 \((1,3)\)。
點的對應
\(f\) 上的點 \((x_0, y_0)\) 經過變換後，在 \(g\) 上的位置是 \(\left(\dfrac{x_0}{b}+h,\; a\,y_0+k\right)\)。
練習題
1. 說明 \(g(x)=(x+4)^3-2\) 是由 \(f(x)=x^3\) 如何變換而來。
解答
左移 4、下移 2。
2. \(f\) 的定義域 \([0,6]\)、值域 \([-1,5]\)。求 \(g(x)=3f(x)+1\) 的值域與 \(h(x)=f(2x)\) 的定義域。
解答
\(g\) 的值域：\([3(-1)+1,\,3(5)+1]=[-2,16]\)。 \(h\) 需要 \(0\le 2x\le 6\)，定義域 \([0,3]\)。
3. 點 \((2,5)\) 在 \(f\) 的圖形上。下列各函數圖形上一定會出現哪一點？(a) \(f(x-3)\) (b) \(-f(x)\) (c) \(f\left(\tfrac12x\right)\)
解答
(a) \((5,5)\) (b) \((2,-5)\) (c) \((4,5)\)（\(\tfrac12x=2\) 時 \(x=4\)）
4. 寫出將 \(f(x)=\sqrt{x}\) 對 y 軸鏡射、再右移 2 的函數。
解答
先鏡射：\(\sqrt{-x}\)；再右移 2：把 \(x\) 換成 \(x-2\)，得 \(\sqrt{-(x-2)}=\sqrt{2-x}\)。
5. 一個函數的圖形先垂直伸長 3 倍、再上移 4，若原函數最大值是 2，新函數最大值是多少？
解答
\(3\cdot 2+4=10\)。
推薦影音
1.12A Translations of Functions
簡述：The Algebros 用大量圖形示範平移與伸縮的效果，特別解釋為什麼水平變換的方向是「反過來」的。
三分鐘看懂函數變換
簡述：Maximum Insight 的快速重點整理，適合寫練習題前後快速複習四種變換的規則。