正切與反三角函數
正切函數 \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) 表示角終邊的斜率，週期是 \(\pi\) 而不是 \(2\pi\)，並在 \(\cos\theta=0\) 處有垂直漸近線。反三角函數（inverse trigonometric functions）則是「已知三角函數值、反求角度」的工具。本頁對應 CED 主題 3.8–3.9。
正切函數的圖形
| 性質 | \(y=\tan\theta\) |
|---|---|
| 週期 | \(\pi\) |
| 定義域 | \(\theta\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) |
| 值域 | 所有實數 |
| 垂直漸近線 | \(\theta=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) |
| 零點 | \(\theta=k\pi\) |
| 單調性 | 在每個週期內都遞增 |
變換形式 \(f(\theta)=a\tan\big(b(\theta+c)\big)+d\) 的週期為 \(\dfrac{\pi}{\lvert b\rvert}\)。
反三角函數為什麼要限制定義域？
\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\) 都不是一對一函數，要先限制定義域才有反函數：
| 反函數 | 定義域 | 值域（輸出的角度範圍） |
|---|---|---|
| \(\sin^{-1}x\)（\(\arcsin x\)） | \([-1,1]\) | \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\) |
| \(\cos^{-1}x\)（\(\arccos x\)） | \([-1,1]\) | \([0,\pi]\) |
| \(\tan^{-1}x\)（\(\arctan x\)） | 所有實數 | \(\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\) |
例題：\(\sin^{-1}\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac{\pi}{6}\)（不是 \(\dfrac{7\pi}{6}\)，因為答案必須落在 \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\)）。
記號不要混淆
\(\sin^{-1}x\) 是反正弦，不是 \(\dfrac{1}{\sin x}\)。\(\dfrac{1}{\sin x}\) 是 \(\csc x\)。
練習題
1. 求 \(f(\theta)=2\tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\) 的週期，以及在 \(0<\theta<2\pi\) 內的垂直漸近線。
解答
\(b=\dfrac12\)，週期 \(\dfrac{\pi}{1/2}=2\pi\)。漸近線在 \(\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)，即 \(\theta=\pi+2k\pi\)，所以 \(\theta=\pi\)。
2. 求 \(\tan\dfrac{5\pi}{4}\) 與 \(\tan\dfrac{2\pi}{3}\)。
解答
\(\tan\dfrac{5\pi}{4}=1\)（第三象限為正）；\(\tan\dfrac{2\pi}{3}=-\sqrt3\)（第二象限為負）。
3. 求 (a) \(\cos^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\) (b) \(\tan^{-1}(-1)\) (c) \(\sin^{-1}(1)\)
解答
(a) \(\dfrac{3\pi}{4}\) (b) \(-\dfrac{\pi}{4}\) (c) \(\dfrac{\pi}{2}\)
4. 求 \(\sin\left(\cos^{-1}\dfrac35\right)\)。
解答
令 \(\theta=\cos^{-1}\dfrac35\)，\(\theta\) 在第一象限，\(\cos\theta=\dfrac35\)。畫直角三角形，對邊 4，所以 \(\sin\theta=\dfrac45\)。
5. 為什麼 \(\sin^{-1}\left(\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\neq\dfrac{5\pi}{6}\)？它等於多少？
解答
\(\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12\)，而 \(\sin^{-1}\dfrac12=\dfrac{\pi}{6}\)。因為 \(\dfrac{5\pi}{6}\) 不在 \(\sin^{-1}\) 的值域 \(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\) 內。
推薦影音
3.8 The Tangent Function
簡述：The Algebros 說明正切與斜率的關係、週期為 \(\pi\) 的原因、垂直漸近線位置與變換。
3.9 Inverse Trigonometric Functions
簡述：講解為什麼要限制定義域、三個反三角函數的值域，以及常見的「反三角裡面套三角」題型，對應本頁練習題 3–5。