建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

數列與變化型態

數列（sequence）是依序排列的一串數，可看成定義域為整數的函數。本頁對應 CED 主題 2.1–2.2：等差數列每次加固定的公差，對應線性函數；等比數列每次乘固定的公比，對應指數函數。分辨「加法式成長」與「乘法式成長」是整個 Unit 2 的起點。

等差數列（Arithmetic Sequence）

相鄰兩項的差固定為公差 \(d\)：

\[ a_n=a_0+dn \qquad\text{或}\qquad a_n=a_k+d(n-k) \]

例如 \(5, 8, 11, 14, \dots\)，\(a_0=5\)、\(d=3\)，\(a_n=5+3n\)。

相鄰兩項的比固定為公比 \(r\)：

\[ g_n=g_0\,r^{n} \qquad\text{或}\qquad g_n=g_k\,r^{(n-k)} \]

例如 \(3, 6, 12, 24, \dots\)，\(g_0=3\)、\(r=2\)，\(g_n=3\cdot 2^n\)。

從表格判斷

輸入等距時，算相鄰輸出的差：差相同 → 線性。算相鄰輸出的比：比相同 → 指數。

1. 等差數列 \(a_2=11\)、\(a_6=27\)，求公差與 \(a_{20}\)。

解答

\(d=\dfrac{27-11}{6-2}=4\)。\(a_{20}=a_6+4(20-6)=27+56=83\)。

2. 等比數列 \(g_1=6\)、\(g_4=162\)，求公比與 \(g_0\)。

解答

\(r^3=\dfrac{162}{6}=27\)，\(r=3\)。\(g_0=\dfrac{g_1}{r}=2\)。

3. 判斷下表是線性、指數或兩者皆非，並寫出式子：

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	80	40	20	10

解答

相鄰比皆為 \(\tfrac12\)，指數函數 \(y=80\left(\tfrac12\right)^x\)。

4. 一個指數函數通過 \((2, 12)\) 與 \((4, 48)\)，且 \(b>0\)。求 \(f(x)=ab^x\)。

解答

\(\dfrac{48}{12}=b^2=4\)，\(b=2\)。\(12=a\cdot 4\)，\(a=3\)。\(f(x)=3\cdot 2^x\)。

5. A 方案第 1 天存 100 元之後每天多存 50 元；B 方案第 1 天存 1 元之後每天加倍。第 10 天時哪個方案當天存得比較多？

解答

A：\(100+50\cdot 9=550\) 元。B：\(1\cdot 2^{9}=512\) 元。第 10 天 A 較多（但第 11 天 B 為 1024 元，已超過 A 的 600 元）。