函數合成與反函數
函數合成（composition）是把一個函數的輸出當作另一個函數的輸入，寫成 \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)；反函數（inverse function）\(f^{-1}\) 則把 \(f\) 的輸入輸出對調，「復原」\(f\) 的效果。本頁對應 CED 主題 2.7–2.8，這兩個觀念是下一頁「對數是指數的反函數」的基礎。
函數合成怎麼算？
\(f(g(x))\) 由內往外算：先算 \(g(x)\)，再把結果代入 \(f\)。
例題：\(f(x)=x^2+1\)、\(g(x)=3x-2\)。
- \(f(g(x))=(3x-2)^2+1=9x^2-12x+5\)
- \(g(f(x))=3(x^2+1)-2=3x^2+1\)
可以看出 \(f\circ g\neq g\circ f\)，合成沒有交換律。
從表格或圖形合成
若 \(g(2)=5\)、\(f(5)=-1\)，則 \(f(g(2))=f(5)=-1\)。FRQ 第 1 題常用表格考這個。
恆等函數
恆等函數（identity function）\(I(x)=x\) 滿足 \(f(I(x))=I(f(x))=f(x)\)。
反函數怎麼求？
定義：若 \(f(a)=b\)，則 \(f^{-1}(b)=a\)。\(f\) 與 \(f^{-1}\) 滿足 \(f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x\)。
求反函數的步驟：
- 寫成 \(y=f(x)\)。
- 把 \(x\) 與 \(y\) 對調。
- 解出 \(y\)，得 \(f^{-1}(x)\)。
例題：\(f(x)=\dfrac{2x+1}{3}\)。對調得 \(x=\dfrac{2y+1}{3}\)，解出 \(y=\dfrac{3x-1}{2}\)，所以 \(f^{-1}(x)=\dfrac{3x-1}{2}\)。
什麼函數才有反函數？
函數必須是一對一（one-to-one）才有反函數，也就是每個輸出只對應一個輸入。圖形上可用水平線檢驗：任一條水平線最多與圖形交一點。
\(f(x)=x^2\) 不是一對一；限制定義域為 \(x\ge 0\) 後，反函數為 \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\)。
圖形關係
\(f\) 與 \(f^{-1}\) 的圖形對稱於直線 \(y=x\)。\(f\) 的定義域是 \(f^{-1}\) 的值域，反之亦然。
練習題
1. \(f(x)=2x-5\)、\(g(x)=x^2\)。求 \(f(g(3))\) 與 \(g(f(3))\)。
解答
\(f(g(3))=f(9)=13\)；\(g(f(3))=g(1)=1\)。
2. 用下表求 \(f(g(1))\) 與 \(g(f(2))\)。
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 3 | 4 | 1 | 2 |
| \(g(x)\) | 2 | 3 | 4 | 1 |
解答
\(f(g(1))=f(2)=4\)；\(g(f(2))=g(4)=1\)。
3. 求 \(f(x)=\dfrac{x-4}{5}\) 的反函數。
解答
對調：\(x=\dfrac{y-4}{5}\)，\(y=5x+4\)。\(f^{-1}(x)=5x+4\)。
4. 驗證 \(f(x)=x^3+2\) 與 \(g(x)=\sqrt[3]{x-2}\) 互為反函數。
解答
\(f(g(x))=(\sqrt[3]{x-2})^3+2=x\)；\(g(f(x))=\sqrt[3]{x^3+2-2}=x\)。兩者都等於 \(x\)，互為反函數。
5. 承第 2 題表格，求 \(f^{-1}(1)\) 與 \(g^{-1}(3)\)。
解答
\(f(3)=1\)，所以 \(f^{-1}(1)=3\)。\(g(2)=3\)，所以 \(g^{-1}(3)=2\)。
6. 把 \(h(x)=\sqrt{x^2+1}\) 分解成兩個函數的合成 \(h=f\circ g\)。
解答
一種做法：\(g(x)=x^2+1\)、\(f(x)=\sqrt{x}\)。
推薦影音
2.7A Composition of Functions
簡述：The Algebros 從代數式、表格、圖形三種表示法示範函數合成，並說明合成沒有交換律。
2.8 Inverse Functions
簡述：說明反函數的定義、求法、一對一與限制定義域，以及 \(f\) 與 \(f^{-1}\) 的圖形對稱於 \(y=x\)。