隱函數與圓錐曲線
隱函數（implicitly defined function）是用 \(x\) 與 \(y\) 的方程式定義、沒有寫成 \(y=f(x)\) 的關係，例如 \(x^2+y^2=25\)。圓錐曲線（conic sections）——拋物線、橢圓、雙曲線——是最重要的隱函數例子。本頁對應 CED 主題 4.5–4.7：隱函數的意義、三種圓錐曲線的標準式，以及如何把它們寫成參數式。
什麼是隱函數？
\(x^2+y^2=25\) 的圖形是圓，但它不是 \(y\) 對 \(x\) 的函數（一個 \(x\) 對應兩個 \(y\)）。隱函數可以描述這類關係（relation）。在某一段上可以解出 \(y\)，例如上半圓 \(y=\sqrt{25-x^2}\)。
三種圓錐曲線
| 圓錐曲線 | 標準式 | 特徵 |
|---|---|---|
| 拋物線（parabola） | \((y-k)=a(x-h)^2\) 或 \((x-h)=a(y-k)^2\) | 頂點 \((h,k)\) |
| 橢圓（ellipse） | \(\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1\) | 中心 \((h,k)\)，水平半軸 \(a\)、垂直半軸 \(b\) |
| 雙曲線（hyperbola） | \(\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1\) | 中心 \((h,k)\)，左右開口，漸近線斜率 \(\pm\dfrac{b}{a}\) |
雙曲線若是 \(\dfrac{(y-k)^2}{b^2}-\dfrac{(x-h)^2}{a^2}=1\)，則上下開口。
圓錐曲線的參數化
| 曲線 | 參數式 |
|---|---|
| 橢圓 | \(x(t)=h+a\cos t\)，\(y(t)=k+b\sin t\) |
| 雙曲線（左右開口） | \(x(t)=h+a\sec t\)，\(y(t)=k+b\tan t\) |
| 拋物線 \(x=ay^2\) | \(x(t)=at^2\)，\(y(t)=t\) |
這些參數式來自恆等式 \(\cos^2t+\sin^2t=1\) 與 \(\sec^2t-\tan^2t=1\)。
練習題
1. \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1\) 是什麼曲線？寫出它與兩軸的交點。
解答
橢圓，中心原點。與 x 軸交於 \((\pm4,0)\)，與 y 軸交於 \((0,\pm3)\)。
2. 判斷 \(\dfrac{(y-2)^2}{4}-\dfrac{(x+1)^2}{9}=1\) 的類型、中心與開口方向。
解答
雙曲線，中心 \((-1,2)\)，\(y\) 項為正，上下開口。
3. 寫出 \(\dfrac{(x-3)^2}{25}+\dfrac{(y+1)^2}{4}=1\) 的參數式。
解答
\(x(t)=3+5\cos t\)，\(y(t)=-1+2\sin t\)，\(0\le t\le 2\pi\)。
4. 把 \(x^2+y^2-6x+4y-3=0\) 配方成標準式。
解答
\((x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)=3+9+4\) → \((x-3)^2+(y+2)^2=16\)，圓心 \((3,-2)\)、半徑 4。
5. 求雙曲線 \(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1\) 的漸近線。
解答
\(a=2\)、\(b=3\)，漸近線 \(y=\pm\dfrac32x\)。
推薦影音
4.5 Implicitly Defined Functions
簡述：The Algebros 說明隱函數與一般函數的差別，以及如何從隱函數式子分析圖形。
4.6A Conic Sections: Parabolas
簡述：從拋物線開始介紹圓錐曲線的標準式與圖形，同頻道還有橢圓（4.6B）與雙曲線（4.6C）續集。
4.7 Parametrization of Implicitly Defined Functions
簡述：示範如何用三角恆等式把橢圓與雙曲線寫成參數式，對應本頁練習題 3。