參數函數
參數函數（parametric function）用第三個變數 \(t\)（通常代表時間）同時決定 \(x\) 與 \(y\)：\(f(t)=\big(x(t),\,y(t)\big)\)。它能描述物體在平面上「什麼時間在哪裡」，而不只是走過的路徑形狀。本頁對應 CED 主題 4.1–4.4：參數函數的意義、平面運動、參數函數的變化率，以及如何參數化直線與圓。
參數函數描述什麼？
例題：\(x(t)=2t\)、\(y(t)=t^2\)，\(0\le t\le 3\)。
| \(t\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \((x,y)\) | \((0,0)\) | \((2,1)\) | \((4,4)\) | \((6,9)\) |
點沿著拋物線往右上移動。\(t\) 的方向決定了圖形的方向（orientation）。
消去參數
從 \(x=2t\) 得 \(t=\dfrac{x}{2}\)，代入 \(y=t^2\)，得 \(y=\dfrac{x^2}{4}\)。消去參數能看出路徑形狀，但會失去「時間」資訊。
參數函數的變化率
- \(x(t)\) 遞增 → 點往右移；遞減 → 往左移。
- \(y(t)\) 遞增 → 點往上移；遞減 → 往下移。
- 在 \([t_1,t_2]\) 上，路徑割線的斜率為 \(\dfrac{y(t_2)-y(t_1)}{x(t_2)-x(t_1)}\)。
參數化直線與圓
| 圖形 | 參數式 |
|---|---|
| 從 \((x_1,y_1)\) 到 \((x_2,y_2)\) 的線段 | \(x(t)=x_1+(x_2-x_1)t\)，\(y(t)=y_1+(y_2-y_1)t\)，\(0\le t\le 1\) |
| 圓心 \((h,k)\)、半徑 \(r\) 的圓（逆時針） | \(x(t)=h+r\cos t\)，\(y(t)=k+r\sin t\)，\(0\le t\le 2\pi\) |
| 同上（順時針） | \(x(t)=h+r\cos t\)，\(y(t)=k-r\sin t\) |
練習題
1. \(x(t)=t+1\)、\(y(t)=3-t\)。消去參數，寫出 \(y\) 與 \(x\) 的關係。
解答
\(t=x-1\)，\(y=3-(x-1)=4-x\)。
2. 寫出從 \((1,2)\) 到 \((5,-2)\) 的線段參數式。
解答
\(x(t)=1+4t\)，\(y(t)=2-4t\)，\(0\le t\le 1\)。
3. 寫出圓心 \((2,-1)\)、半徑 3、逆時針一圈的參數式。
解答
\(x(t)=2+3\cos t\)，\(y(t)=-1+3\sin t\)，\(0\le t\le 2\pi\)。
4. \(x(t)=t^2-4t\)、\(y(t)=t+1\)。在 \(0<t<2\) 時，點往左還是往右移？往上還是往下？
解答
\(x(t)=(t-2)^2-4\) 在 \(t<2\) 遞減 → 往左；\(y(t)\) 遞增 → 往上。
5. 消去 \(x=3\cos t\)、\(y=3\sin t\) 的參數。
解答
\(x^2+y^2=9\cos^2t+9\sin^2t=9\)，圓心原點、半徑 3 的圓。
推薦影音
4.1 Parametric Functions
簡述：The Algebros 介紹參數函數的表示法、方向與消去參數，對應本頁前半段。
4.3 Parametric Functions and Rates of Change
簡述：說明 \(x(t)\)、\(y(t)\) 的增減如何決定點的移動方向，以及參數路徑上的平均變化率，對應本頁練習題 4。
4.4 Parametrically Defined Circles and Lines
簡述：示範如何寫出線段與圓的參數式，並控制起點、方向與範圍，對應本頁練習題 2、3。