函數建模
函數建模（function modeling）是根據情境或資料選擇適當的函數類型、求出參數、用模型預測，並說明模型的假設與限制。本頁對應 CED 主題 1.13–1.14（Function Model Selection and Assumption Articulation、Function Model Construction and Application），也是 FRQ 第 2 題的基礎。
看到資料時該選哪種模型？
| 資料或情境特徵 | 適合的模型 |
|---|---|
| 等距輸入下，輸出差固定（變化率固定） | 線性（linear） |
| 二階差固定；有單一最高或最低點 | 二次（quadratic） |
| 有多個轉折、或明確的零點條件 | 三次以上多項式 |
| 與某量成反比、有漸近值 | 有理函數 |
| 不同區段遵循不同規則（例如計費級距） | 分段函數（piecewise） |
| 面積、體積等幾何量 | 依公式選次數，例如面積→二次、體積→三次 |
用計算機做回歸
- 把資料輸入成兩個清單（list）。
- 選擇回歸類型，例如
LinReg、QuadReg、CubicReg、QuartReg。 - 讀出參數，寫出模型，並保留三位小數。
在 Desmos 中，可以輸入表格後打 \(y_1 \sim a x_1^2 + b x_1 + c\) 做二次回歸。
模型的假設與限制
AP 考試常問「這個模型合理嗎？」回答時要考慮：
- 定義域限制：時間不能為負、物品數量必須是整數。
- 值域限制：高度、人數不能為負。
- 外插風險：超出資料範圍太遠的預測可能失準。
例題：一顆球的高度模型 \(h(t)=-4.9t^2+20t+1.5\)（公尺）。合理定義域是從 \(t=0\) 到球落地（\(h(t)=0\)）為止，約 \(0\le t\le 4.15\) 秒。
分段函數
分段函數（piecewise-defined function）在不同輸入區間用不同規則：
表示 2 小時內收 15 元，之後每小時加收 4 元。
練習題
1. 下表每次 \(x\) 增加 1，\(y\) 減少 3。最適合的模型是什麼？寫出式子。
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 10 | 7 | 4 | 1 |
解答
變化率固定 \(-3\)，線性模型 \(y=-3x+10\)。
2. 一張 20 公分 × 20 公分的紙，四角各剪去邊長 \(x\) 的正方形後折成無蓋盒子。寫出體積 \(V(x)\) 及合理定義域。
解答
\(V(x)=x(20-2x)^2\)。邊長必須為正：\(x>0\) 且 \(20-2x>0\)，定義域 \(0<x<10\)。
3. 承第 2 題，用計算機求使體積最大的 \(x\) 與最大體積。
解答
用計算機找極大值：\(x\approx 3.333\)，\(V\approx 592.593\) 立方公分（精確值 \(x=\tfrac{10}{3}\)、\(V=\tfrac{16000}{27}\)）。
4. 某停車場前 1 小時收 30 元，超過 1 小時的部分按實際時間每小時 20 元計費。寫出停車 \(x\) 小時的費用 \(C(x)\)。
解答
\(C(x)=\begin{cases}30, & 0<x\le1\\ 30+20(x-1), & x>1\end{cases}\)
5. 承上方例題的球，模型預測 \(t=5\) 時高度為多少？這個預測合理嗎？
解答
\(h(5)=-122.5+100+1.5=-21\) 公尺。高度為負不合理，因為 \(t=5\) 已超出球落地前的合理定義域。
推薦影音
1.13 Function Model Selection
簡述：The Algebros 說明如何從資料特徵與情境判斷該用線性、二次、多項式或分段模型，並寫出模型假設。
1.14 Function Model Construction
簡述：示範用計算機回歸建立模型、用模型預測，並討論定義域與值域的限制，對應本頁練習題 2、3、5。