建立 2026-11-13 更新 2026-11-13

有理函數

有理函數（rational function）是兩個多項式的商 \(r(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\)，其中 \(q(x)\neq 0\)。本頁對應 CED 主題 1.7–1.10：用分子分母次數判斷端點行為與水平漸近線，找出零點、垂直漸近線與洞（hole）。關鍵永遠是先因式分解、再約分。

端點行為與水平漸近線

設分子次數 \(n\)、分母次數 \(m\)：

情況	端點行為	漸近線
\(n<m\)	\(r(x)\to 0\)	水平漸近線 \(y=0\)
\(n=m\)	\(r(x)\to\) 領導係數比	水平漸近線 \(y=\dfrac{a_n}{b_m}\)
\(n=m+1\)	像一條斜直線	斜漸近線（slant asymptote，用長除法求）
\(n>m+1\)	像更高次多項式	無水平／斜漸近線

例題：\(r(x)=\dfrac{3x^2-1}{x^2+4}\)，次數相同，水平漸近線 \(y=3\)。

零點、垂直漸近線與洞怎麼分辨？

把分子分母都因式分解，然後：

洞（hole）：分子分母共同的因式 \((x-a)\) 約掉後，\(x=a\) 處是一個洞。洞的 y 座標 = 約分後的式子在 \(x=a\) 的值。
零點：約分後分子為 0 的 \(x\)。
垂直漸近線（vertical asymptote）：約分後分母為 0 的 \(x\)。在 \(x=a\) 附近 \(r(x)\to\pm\infty\)。

常見錯誤

分母為 0 不一定是垂直漸近線！要先約分。若共同因式在分子的重數大於等於分母，\(x=a\) 是洞；若分母重數較大，約分後仍是垂直漸近線。

例題：\(r(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}\)

約掉 \((x-2)\)，約分後為 \(\dfrac{x+2}{x+1}\)。
洞：\(x=2\)，y 座標 \(\dfrac{4}{3}\)，洞在 \(\left(2,\dfrac43\right)\)。
零點：\(x=-2\)。
垂直漸近線：\(x=-1\)。
水平漸近線：\(y=1\)。

練習題

1. 求 \(r(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-9}\) 的水平漸近線與垂直漸近線。

解答

分子次數 1 < 分母次數 2，水平漸近線 \(y=0\)。分母 \((x-3)(x+3)\)，沒有與分子相同的因式，垂直漸近線 \(x=3\)、\(x=-3\)。

2. \(r(x)=\dfrac{x^2+5x+6}{x+3}\) 有沒有洞？在哪裡？

解答

\(\dfrac{(x+2)(x+3)}{x+3}=x+2\)（\(x\neq-3\)）。洞在 \(x=-3\)，y 座標 \(-3+2=-1\)，即 \((-3,-1)\)。

3. 寫出 \(r(x)=\dfrac{4x^3-x}{2x^3+5}\) 的端點行為（用極限表示）。

解答

次數相同，領導係數比 \(\dfrac42=2\)。\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}r(x)=2\)。

4. \(r(x)=\dfrac{x-1}{(x-1)^2(x+2)}\) 在 \(x=1\) 是洞還是垂直漸近線？

解答

約分後 \(\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\)，分母仍有 \((x-1)\)，所以 \(x=1\) 是垂直漸近線，不是洞。

5. 寫出一個有理函數，滿足：零點 \(x=3\)、垂直漸近線 \(x=-1\)、水平漸近線 \(y=2\)。

解答

\(r(x)=\dfrac{2(x-3)}{x+1}\)。次數相同、領導係數比 2，分子零點 3，分母零點 \(-1\)。

6. 承第 4 題，當 \(x\to 1^+\) 時，\(r(x)\) 趨近 \(\infty\) 還是 \(-\infty\)？

解答

約分後 \(\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\)。\(x\) 稍大於 1 時 \((x-1)\) 是很小的正數、\((x+2)\approx 3>0\)，所以 \(r(x)\to\infty\)。

有理函數

端點行為與水平漸近線

零點、垂直漸近線與洞怎麼分辨？

練習題

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