多項式函數
多項式函數（polynomial function）是形如 \(p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\) 的函數，其中 \(n\) 是次數（degree）、\(a_n\) 是領導係數（leading coefficient）。本頁對應 CED 主題 1.5–1.6，說明如何找零點、判斷重根（multiplicity）對圖形的影響、處理複數零點、判斷奇偶函數，以及用次數與領導係數判斷端點行為。
零點、因式與 x 截距有什麼關係？
對實數 \(a\)，以下三句話意思相同：
- \(p(a)=0\)，\(a\) 是 \(p\) 的零點（zero）。
- \((x-a)\) 是 \(p(x)\) 的因式（factor）。
- \((a,0)\) 是圖形的 x 截距。
重根（Multiplicity）怎麼影響圖形？
若 \((x-a)^k\) 是因式，\(a\) 就是重數 \(k\) 的零點：
| 重數 | 圖形在 \(x=a\) 的行為 |
|---|---|
| 奇數（1, 3, …） | 穿過 x 軸，正負號改變 |
| 偶數（2, 4, …） | 碰到後彈回，正負號不變 |
複數零點（Complex Zeros）
代數基本定理：\(n\) 次多項式恰有 \(n\) 個複數零點（含重根）。若係數都是實數，非實數零點必定成對共軛出現：若 \(a+bi\) 是零點，\(a-bi\) 也是。
例題：已知 \(p(x)\) 是實係數三次多項式，零點為 \(2\) 與 \(1+i\)，則第三個零點必為 \(1-i\)。
奇函數與偶函數
| 類型 | 定義 | 圖形對稱 | 例子 |
|---|---|---|---|
| 偶函數（even） | \(f(-x)=f(x)\) | 對稱於 y 軸 | \(x^2\)、\(x^4-3x^2\) |
| 奇函數（odd） | \(f(-x)=-f(x)\) | 對稱於原點 | \(x^3\)、\(x^5-x\) |
端點行為（End Behavior）怎麼判斷？
當 \(x\to\pm\infty\) 時，多項式的行為只由領導項 \(a_nx^n\) 決定：
| \(a_n>0\) | \(a_n<0\) | |
|---|---|---|
| \(n\) 偶數 | 左上、右上 | 左下、右下 |
| \(n\) 奇數 | 左下、右上 | 左上、右下 |
用極限記號寫，例如 \(p(x)=-2x^3+x\)：\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}p(x)=-\infty\)，\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}p(x)=\infty\)。
練習題
1. 找出 \(p(x)=x^3-4x^2-5x\) 的所有零點。
解答
\(p(x)=x(x^2-4x-5)=x(x-5)(x+1)\)，零點為 \(x=0, 5, -1\)。
2. \(f(x)=(x-1)^2(x+3)^3\)。在 \(x=1\) 與 \(x=-3\) 時，圖形穿過還是碰彈 x 軸？\(f\) 的次數為何？
解答
\(x=1\) 重數 2（偶數）→ 碰到後彈回；\(x=-3\) 重數 3（奇數）→ 穿過。次數 \(2+3=5\)。
3. 實係數四次多項式的零點包含 \(3i\) 與 \(2\)（重數 1），還有哪個零點？寫出一個符合條件的多項式。
解答
共軛 \(-3i\) 必為零點，剩下一個零點必須是實數（例如再給 \(x=-1\)）。 一例：\(p(x)=(x^2+9)(x-2)(x+1)\)。只要 4 個零點中包含 \(\pm 3i\)、\(2\) 與另一個實數即可。
4. 判斷奇偶：(a) \(f(x)=x^4-2x^2+7\) (b) \(g(x)=x^3+x^2\)
解答
(a) \(f(-x)=x^4-2x^2+7=f(x)\)，偶函數。 (b) \(g(-x)=-x^3+x^2\)，既不等於 \(g(x)\) 也不等於 \(-g(x)\)，非奇非偶。
5. 寫出 \(p(x)=-3x^4+5x^3-x+2\) 的端點行為（用極限表示）。
解答
領導項 \(-3x^4\)：偶次、負係數，兩端都往下。 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}p(x)=-\infty\)，\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty\)。
6. 解不等式 \(x(x-2)(x+3)>0\)。
解答
零點 \(-3, 0, 2\) 把數線分成四段。領導項 \(x^3\)，最右段為正，每過一個單重零點變號： \((2,\infty)\) 正、\((0,2)\) 負、\((-3,0)\) 正、\((-\infty,-3)\) 負。 答案：\((-3,0)\cup(2,\infty)\)。
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