向量與向量值函數
向量（vector）是同時具有大小（magnitude）與方向（direction）的量，例如速度、力與位移。向量值函數（vector-valued function）則是輸出為向量的函數，可以描述物體在平面上的位置隨時間變化，和參數函數是同一件事的兩種寫法。本頁對應 CED 主題 4.8–4.9。
向量的表示與運算
向量 \(\vec v=\langle a,b\rangle=a\mathbf{i}+b\mathbf{j}\)，從原點指向 \((a,b)\)。
| 運算 | 公式 |
|---|---|
| 大小 | \(\lVert\vec v\rVert=\sqrt{a^2+b^2}\) |
| 加法 | \(\langle a,b\rangle+\langle c,d\rangle=\langle a+c,\,b+d\rangle\) |
| 純量乘法 | \(k\langle a,b\rangle=\langle ka,\,kb\rangle\) |
| 單位向量 | \(\dfrac{\vec v}{\lVert\vec v\rVert}\)（同方向、長度 1） |
| 由大小與方向角 | \(\vec v=\langle \lVert\vec v\rVert\cos\theta,\ \lVert\vec v\rVert\sin\theta\rangle\) |
| 從 \(P(x_1,y_1)\) 到 \(Q(x_2,y_2)\) | \(\overrightarrow{PQ}=\langle x_2-x_1,\,y_2-y_1\rangle\) |
內積與夾角
內積（dot product）：\(\langle a,b\rangle\cdot\langle c,d\rangle=ac+bd\)。
所以 \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert\,\lVert\vec v\rVert}\)。內積為 0 代表兩向量垂直（orthogonal）。
向量值函數
位置向量 \(\vec p(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle\) 描述物體在時間 \(t\) 的位置。例如 \(\vec p(t)=\langle 3\cos t,\,3\sin t\rangle\) 表示沿半徑 3 的圓逆時針運動。
練習題
1. \(\vec u=\langle 3,-4\rangle\)、\(\vec v=\langle -1,2\rangle\)。求 \(2\vec u-\vec v\) 與 \(\lVert\vec u\rVert\)。
解答
\(2\vec u-\vec v=\langle 6,-8\rangle-\langle -1,2\rangle=\langle 7,-10\rangle\)。\(\lVert\vec u\rVert=\sqrt{9+16}=5\)。
2. 求 \(\vec u=\langle 3,-4\rangle\) 方向的單位向量。
解答
\(\dfrac{1}{5}\langle 3,-4\rangle=\left\langle \dfrac35,-\dfrac45\right\rangle\)。
3. 一架飛機以 200 km/h、方向角 \(30^\circ\) 飛行，寫出速度向量的分量。
解答
\(\langle 200\cos 30^\circ,\ 200\sin 30^\circ\rangle=\langle 100\sqrt3,\ 100\rangle\approx\langle 173.205,\ 100\rangle\)。
4. 求 \(\langle 1,2\rangle\) 與 \(\langle 3,1\rangle\) 的夾角。
解答
內積 \(=3+2=5\)；長度 \(\sqrt5\)、\(\sqrt{10}\)。\(\cos\theta=\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt2}{2}\)，\(\theta=\dfrac{\pi}{4}\)（\(45^\circ\)）。
5. \(\langle 2,k\rangle\) 與 \(\langle 6,-3\rangle\) 垂直，求 \(k\)。
解答
\(12-3k=0\)，\(k=4\)。
6. \(\vec p(t)=\langle t^2,\,2t\rangle\)。求 \(t=1\) 到 \(t=3\) 的位移向量。
解答
\(\vec p(3)-\vec p(1)=\langle 9,6\rangle-\langle 1,2\rangle=\langle 8,4\rangle\)。
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