矩陣與線性變換
矩陣（matrix）是把數字排成列（row）與行（column）的矩形陣列。在 AP Precalculus 中，\(2\times 2\) 矩陣有兩大用途：一是表示平面上的線性變換（linear transformation），例如旋轉、鏡射、伸縮；二是描述狀態轉移，例如每年顧客在兩家店之間流動的比例。本頁對應 CED 主題 4.10–4.14。
矩陣乘法
規則是「列乘行」。矩陣乘法沒有交換律：一般而言 \(AB\neq BA\)。
行列式與反矩陣
對 \(A=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}\)：
- 行列式（determinant）：\(\det A=ad-bc\)。
- 若 \(\det A\neq 0\)，反矩陣 \(A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a\end{bmatrix}\)，且 \(AA^{-1}=I\)。
- 若 \(\det A=0\)，\(A\) 沒有反矩陣。
\(\lvert\det A\rvert\) 也代表由兩個行向量張成的平行四邊形面積。
矩陣作為線性變換
把向量 \(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\) 乘上矩陣 \(A\)，得到變換後的向量。常見變換：
| 變換 | 矩陣 |
|---|---|
| 逆時針旋轉 \(\theta\) | \(\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\) |
| 對 x 軸鏡射 | \(\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}\) |
| 對 y 軸鏡射 | \(\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\) |
| 伸縮（水平 \(k_1\)、垂直 \(k_2\)） | \(\begin{bmatrix}k_1 & 0\\ 0 & k_2\end{bmatrix}\) |
先做變換 \(B\) 再做變換 \(A\)，對應矩陣 \(AB\)（注意順序：右邊的先做）。反矩陣 \(A^{-1}\) 對應「復原」變換。
矩陣建模：狀態轉移
例題：某城市每年 A 店顧客有 80% 留下、20% 轉到 B 店；B 店顧客有 70% 留下、30% 轉到 A 店。轉移矩陣與狀態向量：
若今年 A、B 各 1000 人，明年為 \(T\begin{bmatrix}1000\\1000\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1100\\900\end{bmatrix}\)。
練習題
1. 計算 \(\begin{bmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1\\ 4 & 2\end{bmatrix}\)。
解答
\(\begin{bmatrix}2+4 & -2+2\\ 0+12 & 0+6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & 0\\ 12 & 6\end{bmatrix}\)。
2. 求 \(A=\begin{bmatrix}4 & 7\\ 2 & 6\end{bmatrix}\) 的行列式與反矩陣。
解答
\(\det A=24-14=10\)。\(A^{-1}=\dfrac{1}{10}\begin{bmatrix}6 & -7\\ -2 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.6 & -0.7\\ -0.2 & 0.4\end{bmatrix}\)。
3. 寫出逆時針旋轉 \(90^\circ\) 的矩陣，並求點 \((3,1)\) 旋轉後的位置。
解答
\(\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}\)，新位置 \((-1,3)\)。
4. \(\begin{bmatrix}2 & k\\ 3 & 6\end{bmatrix}\) 沒有反矩陣，求 \(k\)。
解答
\(12-3k=0\)，\(k=4\)。
5. 用反矩陣解聯立方程式 \(2x+y=5\)、\(x+y=3\)。
解答
\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}\)，\(\det A=1\)，\(A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}\)。 \(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=A^{-1}\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\)，\(x=2\)、\(y=1\)。
6. 承「狀態轉移」例題，兩年後 A、B 店各有多少顧客？
解答
\(T\begin{bmatrix}1100\\900\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.8(1100)+0.3(900)\\0.2(1100)+0.7(900)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1150\\850\end{bmatrix}\)。
推薦影音
4.10 Matrices
簡述：The Algebros 介紹矩陣的表示法、加法與乘法，並說明矩陣乘法為何沒有交換律，對應本頁練習題 1。
4.11 The Inverse and Determinant of a Matrix
簡述：說明行列式的計算與幾何意義，以及 \(2\times2\) 反矩陣的公式，對應本頁練習題 2、4、5。
4.12 Linear Transformations and Matrices
簡述：示範旋轉、鏡射、伸縮矩陣如何作用在平面上的點與向量，對應本頁練習題 3。
延伸：3Blue1Brown 線性變換與矩陣
簡述：3Blue1Brown 用精美動畫解釋「矩陣就是空間的變換」，雖然不是 AP 課程影片，卻是理解線性變換最直觀的一支，推薦學有餘力的同學觀看。